浅议高等数学教学中创造性思维的培养

杨丽

摘 要：创造性思维的培养是高等数学教育改革的重要目标。创造性思维与学科教学相结合是培养学生创造性思维能力的必经途径。在高等数学教学中通过培养思维的灵活性、鼓励学生假设与联想、加强逆向思维训练、直觉思维与形象思维等方面来培养大学生的创造性思维。

关键词：创造性思维；高等数学；教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）01-0098-03

Abstract： The cultivation of creative thinking is an important goal of education reform on advanced mathematics. The combination of creative thinking and subject teaching is an effective cultivation way. In the teaching of advanced mathematics， we should training students' flexibility of thinking， encourage assumption and association， and strengthen the training of reverse thinking， intuitive thinking and imaginal thinking to cultivate their creative thinking.

Keywords： creative thinking； advanced mathematics； teaching

高等数学是各高校开设的重要基础课程，但多数学生觉得枯燥难学，缺乏学习兴趣。究其原因不仅在于高等数学具有高度的抽象性和严谨的逻辑性，也在于学生对高等数学存在一定的认知局限，往往停留于一道道命题的计算和推演，而沒有上升到一种数学思维和精神，更无从把高等数学知识具体化和运用化。由此，高等数学教育应立足于发展学生思维和创造力的教育理念，来提高学生学习兴趣和树立数学精神，其中创造性思维的培养是高等数学教育的核心。

一、培养高等数学创造性思维的意义

所谓创造性思维，就是在分析、选择、判断和解决问题的过程中，突破一般思维常规，以探索、求新、求异为特征，提出新的见解和方案，产生新的思维成果的高级心理活动。创造性思维体现为一种个性思维，具有灵活性和独特性。

高等數学创造性思维的培养有助于学生超越知识本身的学习，转变思维角度，突破思维桎梏，扩大思维空间，形成良好的数学观和数学精神，进一步认识学习数学的重要性、必要性以及对现代科技和社会发展的巨大作用；有助于学生将数学知识和数学精神运用于其他知识的学习和实际问题的解决；有助于用数学思维方式（严密的演绎证明的思维过程）认知事物的相互关系及其变化；有助于学生树立批判精神，培养自身的独立性和主体性；有助于数学知识转化为科学技术、方法和运用工具，最终形成生产力。

二、高等数学创造性思维培养的策略

高等数学创造性思维能力的培养首先基于良好的数学观和数学精神，围绕课堂教学、实践数学、操作应用、良好的教学氛围等展开策略研究。不仅要明确教学目标更要探索有效的教学方式，不仅要优化教学内容更要改进评价方式，不仅要立足于启发学生个性思维也要综合发挥教师的引导作用，不仅要构建合理的知识体系也要强调职业需求等。同时，要通过发散思维、直觉判断、批判思维、问题猜测、关系联想、形式类比、质疑反思等激活其潜在的独特思维，从而达到创造性思维能力培养的目的。

（一）培养思维的灵活性

高等数学思维过程往往被简单的、程式化地概括为计算和逻辑推演。事实上，高等数学思维过程是对各种思维要素进行分析、选择、判断和逻辑思辨的过程。在这个过程中，存在多种可能性，所以，只有灵活“思变”，才能有效把握和运用思维要素。高等数学的思维要素很多，比如：公理、定理、公式、假设、前提条件、数据以及相关数理关系、空间形式等，其成功的关键在于如何结合自身思维经验、知识理解和独有的数学感知力选择其最佳或可能的要素，做出正确与否的判断，这是最通常的思维路径。但是，在数学思维过程中，思维要素往往是隐性的、模糊的，有的被其他要素干扰或诱导；有的条件与结论之间的联系距离远，看不出相互关系；有的条件要素是间接提出或通过计算、推演得出；有的貌似有多种可能性或难于寻觅思维切入点等。

准确地筛选出有效的思维要素是解决问题的前提（思维能力的体现），针对不同的学生对思维要素的利用反映出三种情形（心理反应）：善于利用、难于利用和模棱两可。所以，我们必须体现出高度的思维灵活性，当然，这种灵活性往往不可言说，不是具体的方法和技巧，但又真切体现于思维过程，是一种动态思维，其特质就是“变”，就是思维角度和方法的多元化转换固有思维观念和模式，不管是逻辑推理、理性思考，不管是注重单一思维还是多种思维的综合运用，不管是现象感知还是逻辑推演等都是思维的可能。这充分体现出思维的活跃性与活力。

（二）批判性思维的培养

批判性思维是最强烈、活跃的认知方式，体现出一种积极、主动的思维状态，是思维的最高层次，是创造性思维的核心，是突破固有思维模式的最佳手段。

批判性思维体现为对某种禁锢人们思维的模式的否定，不管思维有无结论或何种结论，整个过程都包含了对多种可能性的主动探究与接纳，体现出极大的开放性。批判性思维体现出两层含义：一是指精神层面，即具有质疑与否定的精神。二是指具体的思维方式和过程。对高等数学而言，知识具有恒定性，知识结构往往是逻辑性的单向延伸，这会导致思维定式，形成某种套路或模式，绕不开公理、定理等。譬如：人们常常说“钻牛角尖”“走进死胡同”等，实际上就是缺乏思维转换和批判性，因其专业特点，学生常常处于严谨、冷静、理性的思维状态，会觉得知识枯燥乏味，而批判性思维主动、积极的认知意识可以扩展思维角度和视野，有助于提高学习兴趣和成效。

（三）鼓励学生假设与联想

假设是一种积极的思维方式，是对一种可能性的预见。对数学而言，是根据已有的命题条件、待征结论、相关逻辑关系等，对其条件与结论之间发展变化的规律所做的推测。可以说最终通过证明的结论都是预先的假设。其基本模式是：如果（假设、只有、已知）……那么……，即“假设+证明”的预见问题和解决问题的思维，体现思维的积极性。这看似简单的假设，事实上必须基于良好的数学观、灵活的数学思维、熟知知识的逻辑关系、经验积累或直观推测等的综合体现，而不仅仅局限于对条件与结论之间数量、形式与逻辑性的思考。主要体现于对不同思维角度和方向的假设，不同思维路径和结论的假设，对数理和逻辑关系的假设，对不同数学现象和内在规律的假设等。这也正是许多学生难于做到的地方。

当然，要使假设成真，少不了“联想”这个中间环节，联想是解决问题的一种重要思维方式。因此，在高等数学教学中，教师要善于引导和鼓励学生积极联想，通过类比联想、逻辑联想、归纳联想、相似联想、直观联想等，促进学生创造性思维能力的发挥和提高。例如，由一元函数极值的概念类比联想出二元函数极值的相应概念；由闭区间上连续的一元函数的最值求法类比联想出在有界闭区域上二元函数的最值求法；由一元函数微分的概念可以相似联想出二元函数全微分的概念；由一元隐函数的求导方法、求导公式相似联想出多元隐函数的求导方法和求导方式等。

（四）加强逆向思维训练

逆向思维是从习惯性认知相反的方向来思考的一种思维方式。对于高等数学而言，学生往往会从已知条件出发，按部就班地推演结论。但并非所有数学命题都呈现清晰的逻辑性，有些前提条件往往比较模糊、隐晦，难于寻觅思维起点，这时如果从结论往回推，从求解回到已知条件，或许问题就简单化了。

所以，在高等数学教学中，要注意培养学生逆向思考问题的意识。比如，在讲了“级数收敛，则其一般项的极限必为0”这一性质后，通常要让学生思考其逆命题是否成立，即“如果一个级数的一般项的极限为0，那么该级数收敛”是否成立，同时要举出具体的例子加以说明，比如调和级数就是一个很好的例子。这种教学方式不仅强化了对概念、性质的理解，更达到了逆向思维训练的目的。

在学习过程中，逆向思维不仅针对问题本身，对教师的教学思维逻辑和方法也要做出分解和逆向思考，因为教师的思维逻辑和方式常常被学生当作模式而固化，有时反而抑制了学生思维的活跃性和独立性。所以，这种不断对各种教学思维进行逆向思考的过程就是创设自我思维空间形成创造力的过程。

（五）直觉思维与形象思维

通常人们认为高等数学与人的直觉和感性不沾边，人们习惯性认为数学思维就是抽象思维和逻辑思维，表现出特有的理性、严谨。但，这不是唯一的思维方式，因为世间事物和现象许多都是先感知再认知，许多数学现象和关系同样首先依赖于直觉感受，再做出验证。所以，数学问题同样有较强的直觉性和形象性。当逻辑推演的条件不够充分或者比较隐晦时，直觉思维与形象思维常常能起到独特作用。如果仅限于数学运算、逻辑推理，不思考数学具像化的、可感知的现象，将难以产生对数学的学习兴趣。因此，直觉思维与形象思维训练在现代高等数学教学过程中日趋受到重视。例如，高等数学中的定积分的概念来自于实际生活中求不规则几何图形“曲边梯形”的面积这个实例，二重积分的概念则来自于空间中求不规则物体的体积等等，像这样的例子很多，深刻理解这些视觉图形背景和存在的现象能更好地帮助我们理解相关的概念，这显示出直觉和形象思维在数学思维中的意义和价值。再如：针对极限这一抽象概念，为了使之形象化，简单化：可以联想到时空中延长与缩小、渐变与发射等概念及其客观物象的变化，这些都包含了朴素的极限意义，而且这些概念往往运用于视知觉领域，直观可感，超越了抽象的数学思维，简化了对极限的理解。

（六）强化教师的引导作用

教师的教学思维和教学方法直接影响学生思维力的发挥，教师的思维角度、思维习惯、思维出发点、思维技巧、逻辑思维与形象思维特点等常常被学生视为典范和标杆。在教师的引导下，通过一定时间和一定知识量的积累和思维训练后，学生的思维特性才得以形成。比如：有的学生把教师的思维特征作为一种“模版”用以解决类似问题（当然这是一种机械的、缺乏自我的思维状态）；有的学生常常评价教师的教学水平和专业水平，事实上这是间接地感受教师的思维特点；同样，教师是否具有灵活多变的、挑战性的思维方式，是否具有启发学生质疑、否定的精神，这对学生思维培养作用很大，因为这不仅对学生是一种挑战，对教师更是一种挑战。好比有的教师上课虽然很认真，教案、课件很完备，但是缺乏讲课技巧和应变力，离开了教案和课件就无法上课；有的几年甚至十几年不更新教案和课件内容，缺乏求新求异的开拓思维，对自身缺乏批判性，这对学生思维开发无一好处。有的教师善于变换思路，巧设问题，这是引导学生最好的方法。这一点一些教师往往难于做到或回避的，因为有些教师避免讲课出现差错，或偏离教案而无法应付，不愿提出较多假设或去分析多种可能性。

对当今教学而言，教师首先要自我革新，探索新的教学思路、教学方法，勇于、善于提出问题，营造一种积极的思维状态和氛围，学生自然被感悟。事实上学生排斥那种老陈的、看似无暇的、稳沉的思维状态，而是想进入活跃的、变幻无穷的、蕴含巨大能量的、哪怕充满挫折和失败的思维境界。针对高等数学而言，更是如此，一堂课的好坏不在于学生如何认真听，而在于如何认真思。

（七）发挥教材的导向功能

提高学生创造性思维，必须要发挥教材的导向作用，学生学习知识、思维训练、专业实践等主要依托于教材，教材提供了学生学习、思考的空间和范畴，所以，教材的编写至关重要。通常情况，高等数学教材按照知识结构编写，内容的安排较为严谨、模式化，但教学经验表明，这并非是一个好思路，高校高等数学课程主要面向非数学专业学生开设，高等数学的教学目的主要是体现为基础性和实用性，而不是去探究知识的内在本质和逻辑。所以高等数学教材主要体现以下特点：

首先，体现高等数学工具特征。如果一味强调知识性、科学化，难免显得严谨、刻板，学生压力大且缺乏学习兴趣。就拿同济大学编写的全国通用《高等数学》教材，同样是显得内容大而全，尽管也体现了一定程度的分层次教学需求和某些相关专业选用的内容，但不是教材编写的主体思路，让学生难以感受到学以致用的着力点。

其次，强调知识的针对性。现在的高等數学教材知识逻辑性无挑剔，但缺乏对非专业学生的针对性，作者认为在保证基础知识的基础上，教材应减少纯理论性知识以及逻辑推演的强度和深度，在每章节前应强调学习该部分知识的意义，知识特征和应用范畴等，让学生从适用需求角度出发，有目的的学习，而通常的教材章节前的介绍的是：前一章节的知识与本章节知识的递进、衍生关系以及各知识的概念、定义、计算法等纯科学化的问题。强调的是知识，而没有关注思维训练。

再次，教材内容的可选择性。根据不同专业学生的特点以及对高等数学的需求，将高等数学知识模块化，即按其内在逻辑组合成相对独立的单元，将相关的单元组合成教学模块，将教学模块按照不同专业需求编写教材，如按照计算机编程的需求编写适用于计算机专业的高等数学教学模块；以抽样调查、序列分析的需求编写适用于应用统计专业的教学模块；将抽象的数学知识物化到具体的、现实的案例中，以案例说明高等数学的有用性，必将大大提高学生学习的积极性和创造力。同时，要体现时代性。适当引入一些现代数学内容，特别是能反映本世纪数学的一些最重要的基础性成果，适当增设“数学实验”课，内容包括算法设计、统计分析、优化计算和数学建模等，更进一步提高学生对高数的接受度。

三、结束语

培养学生创造性思维的方法很多，譬如：发挥考试的导向功能、改进评价方式、强化实践教学、鼓励学生积极参与数学竞赛、促进知识的应用化等，只要灵活转换思维角度和方法，就能通过思维训练达到培养学生能力的目的。

参考文献

[1]楊丽.对高等数学教学现状及改革的思考[J].数学学习与研究，2016（13）：10.

[2]王书臣.高等数学教育现状分析与改革策略[J].大连教育学院学报，2001（3）：46.