浅谈经管类专业《高等数学》的教学感想

郑敏

摘 要：高等数学是大学期间许多专业所必修的一门重要的基础课程。文章主要结合自身针对经管类学生的高等数学教学实践，从注重数学定义、传授通用学习法、领悟实用性和借鉴翻转式课堂教学模式这四个方面浅谈如何讲授能提高学生高等数学的学习效率和应用能力。

关键词：高等数学；经管类；翻转课堂；数学思想；数学建模

中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）01-0062-03

Abstract： Advanced mathematics is an important basic course for many majors in college. Mainly combined with the author's teaching practice of this course for students majored in economics and management， this paper shallowly discusses how to improve students' learning efficiency and application ability of advanced mathematics from four aspects， including emphasizing on mathematical definitions， imparting general learning methods， apprehending the practicability and drawing lessons from the teaching mode of flipped classroom.

Keywords： advanced mathematics； economics and management； flipped classroom； mathematical thought；mathematical modeling

高等數学作为非数学专业的基础课程，历来深受重视。不单是理科专业的必修课程，更为许多文科专业所必修，甚至于某些如经济类和管理类本科对高等数学的知识要求颇高。学好这门课不仅是专业需求，而且其蕴含的数学思想能让学生获益匪浅。然而，在大学生中，普遍存在“闻数色变”这一现象。因此，如何讲授能提高学生高等数学的学习效率和应用能力？是值得深究的。

一、注重数学定义，方能使应用潇洒自如

有别于中学数学，高等数学更注重要求学生掌握定义的本质，以便于后续在其他相关学科和相关课程的实际应用。在该学科的学习过程中，对数学定义的本质的理解，是使学生能迅速掌握其相关知识和灵活应用的重要前提。也只有真正掌握数学定义的本质，才能灵活地运用相关的数学工具解决实际问题。 因此，如何做好定义的讲授至关重要。

例如定积分定义[1]P187-190讲授。在具体介绍该定义之前，可举几个不同领域的问题，比如物理中变速直线运动的路程求解，经济学中收益问题和数学中曲边梯形的面积求解等。对这三个引例，引导学生思考“如直线运动若是匀速直线运动那路程便是速度乘以时间，那变速怎么做？经济学中若商品价格不变，那么收益便是价格乘以数量了，那若是价格改变如何计算收益？数学中直线边的图形面积已能解决，那么曲线边的圖形面积如何解决？”寻找规则问题与不规则问题的差异，获得之间的联系，从而得到解题思路，启发学生发现虽其所涉及的领域不同，但解题思路均可归纳为四个步骤“分割——近似——求和——取极限”，进而引入定积分的定义。如此，学生对此定义便有了深刻的了解，既掌握了定义的本质，也学会了以规则问题的解决方法求解不规则问题的数学思想，对学生掌握定积分的应用有很大的帮助，就比如经济学中的收益问题。事实上，定积分涉及极限概念的应用。因此，若是之前极限的概念教学效果好[2]，学生理解得好，那么在定积分的概念学习上就有帮助。

在经管类等其他相关学科学生的高等数学学习中，掌握好数学定义也能让后续专业学习事半功倍。

比如在经济学中的边际函数[1]P145概念。其定义为已知经济函数y=f（x）在区间I内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）的边际函数。该定义很容易记住，但对于大一学生来说，总有个疑惑，为什么是导数？有什么用？因此，在讲授该概念时可提醒学生回顾导数的定义思想为函数因变量增量与自变量增量之比的极限。从而，经济函数的导数体现相关经济量之间变化的相互影响情况。

由此可见，若能对数学概念理解透彻，那么相关学科的概念理解也能事半功倍。尤其对经管类等其他相关学科学生来说，理解好高等数学定义，能让后续应用更加灵活。

二、循循善诱，激发兴趣，传授通用的学习法

很多学生可说是闻“数”色变。但数学真的难吗？很多学生其实是望而生畏。

因此，在实际教学过程中，如何培养学生学习数学的信心是至关重要的。学生怕数学，主要是觉得它难，如果在实际教学过程中将难化易，信心自然就有了。

（一）“概念见面”轻松化，强调如何应用已有知识解决问题的数学思想

数学概念抽象严谨，在教授新概念时，学生很常有抵触情绪。要是照本宣科，学生的第一反应可能就是不想听。但如果这个“概念见面会”变得轻松自然，学生就有兴趣了。比如在介绍无穷级数这个概念时，可设置提问引入，先问学生“1+2+3=？”，显然这个大家都会，还是“小儿科”，如此一来，学生情绪就有点放松了。再问学生“1+2+3+4=？”，这个肯定也会，学生这会就有点被吸引了，会好奇老师到底想说什么了。接着问学生“1+22+31+45+56+62+……+100000=？”要很快得到答案就难了，提醒学生虽然难算，但是结果肯定是某个数，只是时间的问题。最后再问“1+2+3+4+5+6+……100000+……=？”启发学生发觉这个求和与之前几个例子的不同之处在于这个是可数无穷多个数的求和问题，这个结果到底存在不存在还未知？从而引入无穷级数这个概念，简单说就是可数无穷多个数的求和问题。这样一来，学生对于这个新概念就不会感到突然。而且在逐层递进提问中，学生也一路被吸引着进入了主题。

而如何给出级数求和的定义，那么可引导学生回顾已掌握的数列前n项求和，再启发学生发现前n项和，当n→∞即为级数，从而引导学生推导出级数求和的方法。这种回顾已掌握知识，寻求其与未解决问题二者联系，进而求解未知问题的思考方式适合很多知识的学习，且行之有效，容易让学生增加信心。

又比如在介绍定积分定义时，可以先引导学生回顾常见规则问题的解法，如“直线段长度怎么计算？正方形面积怎么计算？匀速直线运动路程怎么计算？”从而引导思考不规则问题的解法，如“曲线长度怎么计算？曲线边图形面积怎么算？”如此便能引起学生兴趣。

当然，在介绍新概念时，若以相应的数学史作为引入背景[3]，学生听得有滋有味，数学课也可讲得精彩生动，不那么枯燥呆板。而现今多媒体的技术的辅助[3]，也能让许多抽象的数学概念变得形象生动，超脱黑板的束缚，让学生更有兴趣听讲。

由此可见，在课堂教学中，采用以学生已熟练掌握的知识作为情境等多种手段教学，可以启发大多数学生进行积极思考，调动同学们学习的积极性。

（二）“新旧”见面会，比较引入

在高等数学中，很多概念具有相似性。在教学中，若能善用此相似性，在传授新知识时， 以旧知识为例，比较引入，也是个常用有效的方法。比如在二元函数f（x，y）当（x，y）→（x0， y0）时的极限的讲授过程中，可先让学生回顾一元函数f（x）当x →x0时的极限定义。一元函数的极限，通俗地说就是讨论当自变量x无限趋近某个固定值x0时，因变量f（x）是否无限趋近于某个数。讨论一个实数x的取值情况，可以利用其几何表示（即每一個实数和实数轴上的每一点一一对应），那么从直线上便可看出，自变量x要趋近某个固定值x0，只能从x0点的左右两边沿直线趋近，和定义所述的|x-x0|<？啄对应。引导学生注意二元函数的极限思想与一元函数是一致的。只是此时一对自变量 （x，y）的取值在几何上对应平面直角坐标系上的一点，点（x，y）要趋近点（x0，y0），就不再像一维时的左右直线趋近那么简单，而是点（x，y）可以以任何方向沿任何曲线趋近（x0，y0），故而用点（x，y）属于以点（x0，y0）为圆心？啄为半径的去心邻域■（（x0，y0），？啄）来描述。如此让新知识看起来颇为“面熟”，使新概念在原有的认知结构基础上更容易理解，从而使学生的思维很自然地步入新知识体系轨道中，同时为概念后续相关学习研究奠定基础。

上述两种讲授方法在学习其他相关学科也是常用的有效方法，更是教给学生一种不论任何科目都可通用的学习方法。

三、引导学生感受高等数学对经管类专业的重要性，激发自主学习

对经管类学生而言，数学应用的重要性不言而喻。其很多课程都与之有关，比如数学建模类课程等。

相信大多老师在教授大一新生高数时都会发现，有些学生经常试图用高中方法替代新授方法来求解问题，有些学生过于注重“应试”，从而对高等数学学习产生“无用论”的想法。如何激发学生对高等数学的自主学习？关键在于消除高数的“无用论”想法，让学生意识到高等数学的重要性。因此，强调高等数学知识的应用性，让学生深刻意识到其在相关专业中的数学建模作用[4]，尤为重要。

鉴于此，在讲授过程中可结合相关经济知识，适当引入经济应用型题目，介绍学习高数知识的必要性，让学生体会到高等数学知识对于后续课程学习奠基性的作用。

比如经济函数的边际函数值的经济意义如何理解？对于这一点，若熟知导数和微分的关系以及微分的近似应用，便可轻松掌握其经济意义。具体以关于产量Q的成本函数C（Q）为例，根据实际的经济问题中，产量Q一般是一个比较大的量，则其增量△Q=1可看作一个相对较小的量，结合导数与微分间的关系，边际成本C'（Q）的经济意义便是如果已经生产了 个Q单位产品，在此基础上，再生产一件产品近似需增加成本C'（Q）个单位成本。而这个数据对产商的生产计划拟定是有帮助。若再结合其他函数极限等相关知识，小小的成本函数导数值C'（Q）可见生产函数的诸多端倪。

又比如为何要学习多元函数的微积分？在介绍这一章内容之前，可引发学生思考，在现实生活中，某个产品的利润往往受产品价格、同类产品价格、人的收入等多个因素的影响。因此，若是想要更精确分析产品利润变化情况，比起以价格为自变量利润为因变量的一元函數，建立多元函数，其分析可更全面，更贴近实际。从而使学生重视该章内容的学习。

由此可见，唯有摆正学习目标性，对数学知识理解透彻，方可灵活借用相关的数学工具，建立合适的数学模型，做出合理的决策分析，在茫茫数据世界中，寻找出其规律性。

若能让学生意识到这些，便可大大提高学生的学习积极性。

四、借鉴“翻转课堂”教学模式，提高学生学习效率

近来，“翻转课堂”这一颠覆传统的教学模式，在教育行业引起不小的震动。何谓“翻转课堂”[5]？传统的教学模式是老师在课堂上讲课，布置家庭作业，让学生回家练习。而“翻转课堂”式教学模式则是学生在家完成知识的学习，而课堂变成了师生之间和学生与学生之间互动的场所，包括答疑解惑、知识的运用等，真正做到“授之以渔”，强调学生的自主学习。

对高等数学的教学，由于种种原因，多采用传统教学模式，而学生大多没有课前预习习惯，往往承受不住两节课满满的信息量，效果欠佳。我们需考虑多模式的教学方式。“翻转课堂”就是个不错的启发。然而“翻转课堂”教学模式虽然很好，但考虑到学生专业特色和课程特点，高等数学授课若完全照搬“翻转课堂”，较难执行。注意到“翻转课堂”突出的是“先学后教”的教育理念。因此，我们可以借鉴其理念，采取传统教学和“翻转课堂”教学模式相结合的方式进行教学。具体执行如下：第一、上课时在教授新知识之前，可先预留时间让学生浏览课本内容，引导学生记录下疑问点，在稍后讲授过程中得以解惑。在此时间段内，老师巡视教室，分个体予以适当指导解惑，从中初步了解学生对本节内容的学习情况，便于后续课堂讲授。该方法也给予学生上课的缓冲时间。若是上课铃一响，马上开始讲授，很多学生都没有进入状态，而通常一时没跟上则步步落。当然学生若能主动课前预习，针对疑问处可向老师寻求指导，后续听讲效果则更好。第二、例题讲授部分，可补充些与课本例题相似题型的例题。如此，在新知识讲授结束后，则可让学生先自习课本例题，然后尝试练习所补充的例题。与此同时，老师巡视教室，答疑解惑，后续再由老师统一讲解，引导学生整理解题思路，纠正常见解题误区。

上述两个步骤，经实践，既可全面提升课堂上的师生互动，方便老师在巡视过程中予以分层次答疑解惑，也可让学生在“先学”的基础上有针对性听讲老师的“后教”，大大提高学生的学习主动性和效率。

五、结束语

在多年的经管类专业高等数学教学中，作者深深感受到在授课过程中数学思想传递的重要性。在上述所列的四点感想中，本质上也是体现如何更好地在讲授知识的基础上让学生明白学习不能流于知识表面，而应该懂得其内在隐含的数学思想。唯有此，才能做到“一通”而“百通”，才能灵活应用，进而感受到数学的美。

参考文献

[1]刘浩荣，郭景德，蔡林福，等.高等数学（经管类）第2版（上册）[M].上海：同济大学出版社，2012.

[2]向彪.数学中极限定义教学的几点思考[J].黔南民族师范学院学报，2012（4）：109-112.

[3]关文吉.浅谈《高等数学》课的教学方法[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015，36（4）：4-7.

[4]杨瑞兰.谈高等数学教学中数学建模思想的渗透[J].忻州师范学院学报，2005，21（2）：86-88.

[5]oxygen231.翻转课堂式教学模式[DB/OL].http：//wenku.baidu.com/view/2e0ffa9a195f312b3169a55a.html，2015-09-01.