一维玻色爱因斯坦凝聚中的空间孤子能态密度初步研究

熊择正　袁一帆��

摘要：在玻色爱因斯坦凝聚体系中，玻色子由于体系极低的温度，较弱的相互作用以及位置空间中的外场相互作用，其状态波函数在位置空间呈现孤子形态。在本文中，我们研究了碱金属原子体系在方势阱中体系空间波函数与动量空间能态密度的转化问题，为低温下BEC体系的孤子热力学问题分析提供了研究基础，为相关量子体系（如无相互作用或者弱相互作用体系）的研究提供了崭新的方法和思想。

关键词：玻色爱因斯坦凝聚；孤子；空间波函数；能态密度函数

1924年，玻色和爱因斯坦在理论上预言了玻色爱因斯坦凝聚现象的存在，即当理想玻色子被冷却到一个临界温度以下时，将发生相变，形成一种新的物质状态——波色爱因斯坦凝聚态。在凝聚体中，宏观数量上的玻色原子占据能量最低态，并且表现出相同的量子特性，从而得以在宏观上观测BEC现象。在本文中，我们根据绝对零度（或者极低温度）时，能描述精确玻色爱因斯坦凝聚的动力学行为的GrossPitaevskii（GP）方程和其他学者研究方势阱中的体系波函数的结果，探索了BEC体系下如何求得孤子在动量空间中的能态密度函数。

1 利用方势阱囚禁玻色子气体的系统孤子行为

近年来，方势阱已经成功地被添加到BEC的实验中。根据BEC的电磁相互作用本质，方势阱可以通过电势的突然变化来实现。下面我们就以这种理想化的方势阱作为条件来研究其作用下BEC孤子特性。

首先根据GP方程，如果我们将一个方势阱添加在BEC系统中，我们可以得到以下的方程：

ih-[SX（]ψ[]t[SX）]=[SX（]-h-2[]2m[SX）][SX（]ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（1）

其中V（x）[JB（{]V0，-[SX（]L[]2[SX）]0，|x|≥[SX（]L[]2[SX）][JB）]

将其无量纲化（为了数学上的方便），得到：

i[SX（]ψ[]τ[SX）]=-[SX（]1[]2[SX）][SX（]2ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（2）

根据带有虚数单位非线性方程的一般办法，将的实部和虚部分开，即：

ψ（x，t）=A（x，t）exp[iB（x，t）].将其代入上式并对比实、虚部有

[SX（]A[]t[SX）]+A[SX（]2B[]x2[SX）]+2[SX（]A[]x[SX）]·[SX（]B[]x[SX）]=0[JY]（3）

A[SX（]B[]t[SX）]-2A[]x2+A（[SX（]B[]x[SX）]）2+gA3+V（x）A=0

[JY]（4）

2 孤子体系于动量空间中的能态密度函数

在前文中，我们利用GP方程得到了方势阱中的孤子解。但是众所周知，量子力学中的波函数与统计物理中的能态密度函数都是数学中的概率密度函数，二者是否可以在相空间中进行转化呢？该部分将利用量子力学中的基本关系进行对该问题的探索。首先既然是为了得到孤子的能态密度函数，那么自然要在动量表象中进行GP方程的解。对于前文中分离变量x与t的两个方程，根据量子力学中的动量算符定义p=-ih-[SX（][]x[SX）]并将其无量纲化，有：

[SX（]A[]t[SX）]+3pAB=0[JY]（5）

A[SX（]B[]t[SX）]+p2AB-p2A+gA3+V（x）A=0[JY]（6）

现在研究势阱外情形，此时V（x）=0，则有

-A[SX（]2A[]t2[SX）]+（[SX（]A[]t[SX）]）2+p2A2B2-p2A2+gA4+V（x）A=0[JY]（7）

将B用A的式子代替并合

[SX（]dA[]dt[SX）]=f，以及A2=T，F=f2[JY]（8）

则有，

[SX（]dF[]dt[SX）]-（1+[SX（]1[]9p2[SX）]）[SX（]F[]T[SX）]+2p2-2gT=0[JY]（9）

根据一阶线性微分方程的解法，以及在T=0时（即波函数模平方为零时），

有F=0，此时为T的极值点，最后得到

C1ln

（[SX（]λ2-[KF（]a[KF）][]λ2+[KF（]a[KF）][SX）]）=t+c2，λ=A[JY]（10）

即事實上，孤子在动量空间的能态密度函数D（p）会随着时间变化。其中为积分常数，而

[JB（{]C1=

[SX（]g（9p2+1）3/2[]6[KF（]2[KF）]p4[SX）]

a=[SX（]18p4[]9p2+1[SX）][JB）][JY]（11）

所以

D（p）～[SX（]2[KF（]a[KF）][]1-[SX（]et+C2[]C1[SX）][SX）]-[KF（]a[KF）][JY]（12）

通过以上的探究，我们发现孤子的动量空间能态密度函数呈现出与平均场近似以下的BEC体系很显著的区别。首先它随时间呈非线性变化的趋势，其次它与动量之间具有十分复杂的联系，这时它的热力学性质可能有着未曾被注意过的影响。

3 结论

关于第三节（作为本文的核心内容），我们期望通过对方势阱中孤子体系的研究（比较幸运地得到了一个解析结果），将其扩展到一般情况。在量子力学的波函数与统计物理的能态密度函数这两个最基本的概率密度函数之间是否有着类似于此的深刻联系，笔者经过思考，认为是很有理论探索可行性的，其关键就在于量子力学中动量与位置的基本关系p=-ih-[SX（][]x[SX）] 。在大量的量子体系中（例如大量无相互作用粒子活动于各种势垒中），如果可以顺利地（近似）解出或者列出薛定谔方程，那么利用这一关系，会将关于位置与时间变量的波函数转化成关于动量和时间变量的能态密度函数，从而为研究复杂量子体系的热力学性质提供了崭新的视角和方法。笔者查阅大量文献，发现几乎没有相关研究，因此在此抛砖引玉，以俟远者继续拓展研究。

参考文献：

[1]周政.准一维玻色爱因斯坦凝聚中的孤子及应用.湖南师范大学硕士毕业论文，2010.

[2]熊骏.一维修正GrossPitaevskii方程的精确解.长江大学学报（自然科学版），2004.9，1（2/3），5863.