基于subsampling重尾序列持久性变点检验

秦瑞兵,刘洋

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

基于subsampling重尾序列持久性变点检验

秦瑞兵,刘洋

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

研究新息为方差无穷重尾序列的持久性变点检验问题,为得到较好的经验水平值,构造了DF型比率统计量,得到其渐近分布。为避免估计重尾指数κ,应用subsampling方法确定渐近分布的临界值并论证了该方法的合理性。最后,Monte Carlo模拟说明统计量及subsampling方法的有效性。

subsampling;持久性变点;重尾;DF型比率统计量

0 引言

Engle和Granger提出线性协整模型后,协整分析方法被广泛应用于金融时间序列分析中。例如Liu和Yao[1]应用协整理论,对比了中国城镇化水平和三大产业就业比重的关系,发现二者之间存在长期均衡的关系。但是,由于系统内外因素的变化,经济或金融变量系统的长期均衡性可能从某个时刻之后被打破,此类变点即持久性变点,表现为序列的平稳性发生变化,导致原有协整检验方法过分拒绝原假设,持久性变点问题引起了较深入的研究。Leybourne等[2]和Kim[3]分别应用DF型比率统计量及方差比率统计量对持久性变点进行检测。Leybourne和Taylor[4]则应用修正的方差比率统计量提高持久性变点检验的功效,并改善检验的经验水平。Yang和Jin[5]运用方差比率统计量讨论了新息为重尾情形的持久性变点检验问题。Chen和Tian[6]应用修正的核加权方差比率方法去监测线性序列的持久性变点问题并将该方法应用于分析人民币与美元汇率数据。

Guillaume[7]以及Mittnik和Rachev[8]发现许多经济和金融数据具有尖峰重尾的特征,重尾序列成为统计学界的热点研究问题之一。Anderson[9]应用独立成分分析法研究了满足重尾分布的数据。Mittnik和Rachev[10]分析了重尾分布的特征并解释了如何将重尾分布应用于金融数据模型中。Han和Tian[11]应用方差比率统计量并结合bootstrap方法探究了重尾序列的持久性变点检验问题,但是从数据模拟结果发现,当重尾指数较小时,经验水平值存在扭曲现象,本文利用DF型比率统计量检验重尾序列的持久性变点问题,得到该统计量的渐近分布,但该分布含有重尾指数,因此本文应用subsampling方法计算上述统计量的临界值,并证明该方法的合理性。最后,数值模拟表明当子样本量较大时,其经验势函数接近1,表明subsampling 方法在持久性变点检验时的合理性。

1 模型及统计量

1.1 考虑模型

yt=r+ut,

ut=ρtut-1+εt,

其中

且|ρ|<1,新息过程{εt}是重尾序列,满足以下的假设条件和引理。

引理1 若假设条件成立,当T→∞时,下式成立,即

1.2 持久性变点检验的统计量

基于数据生成过程,考虑以下两种情形:第一种情形是随机过程{yt}在整个时间序列上是单位根过程,即τ=1,记为H0;第二种情形是随机过程{yt}在时刻[τT]由单位根过程转变为平稳过程,即0<τ<1,记为H1,其中,τ∈Λ,Λ为(0,1)上任意一个紧子集。

定义下面的DF型比率统计量

.

其中

这里N(τ)=U(1)-U(1-τ),Vr(τ)=V(1)-V(1-τ)。

对于分母部分,假设0

DFr的极限分布N(τ)能够利用DFf的极限分布U(τ)得到,接下来证明N(.)的存在。对于0

2 抽样过程

由于上述统计量的渐近分布G(x)中含有未知参数κ,计算是复杂的,因此本文利用subsampling方法来逼近渐近分布的临界值。

具体方法如下:

为方便定理2的证明,先证明如下的引理2至引理5。

引理2的证明参见文献[12]。

证明 由rk(T)的定义可知

证明 对于统计量ΞT的分子部分,令

定义

则由上、下极限的性质及引理3,引理成立。下仅证

得

统计量的分母部分可作类似处理。

证明

由引理4的证明可知,S1→0,将S2作如下分解

由引理4可得

因此

从而

故

3 数据模拟

考虑如下数据生成过程:yt=r+ut,t=1,2,…,T,其中{ut}满足假设1,r=0.1。原假设条件下,ut=ut-1+εt,备择假设下,随机过程{ut}在时刻[τT]从I(1)到I(0)变化,即

ut=ρ1ut-1+εt,t=1,2,…,[τT] ,

ut=ρ2ut-1+εt,t=[τT]+1,…,T.

其中ρ1=1,ρ2=0.25,0.75,变点时刻τ=0.3,0.5,0.85。随机变量序列{εt}是对称独立同分布的重尾序列,重尾指数κ=1.14,1.46,1.97,且Eεt=0。不失一般性,设定初始值y0=0,显著性水平α=0.05,以及样本容量T=300,500。

κ=1.14n=300n=500κ=1.46n=300n=500κ=1.97n=300n=500(a)经验水平值α=0.050.06320.06340.06400.06480.06680.0682(b)经验势函数值τρ20.30.250.63440.74060.64640.79120.71900.85200.750.46880.62060.46920.63660.50580.65420.50.250.79800.86500.82940.91060.89000.96400.750.64760.76600.64960.78860.67940.82060.850.250.92800.96420.95400.95540.98900.99880.750.81240.90600.81800.91940.85180.9248

表2 b=[T1/2]时subsampling方法所得的经验函数值

表1和表2分别给出了不同子样本量下,用subsampling方法进行5000次模拟试验得到的经验水平值和经验势函数值。比较表1和表2的结果可以得到以下几个结论:1.随着样本容量T的增加,经验水平值和经验势函数值都有较明显的改善。2.重尾指数κ越接近1,势函数越低,而指数越接近2,势函数越高。 3.当ρ2越接近1时,经验势函数值较小。4.当τ较大时,subsampling检验的经验势函数值较大,这是由于备择假设下,随机过程{yt}从I(1)到I(0)变化,{yt}含有I(1)的比例较大,因此经验势函数值较大。5.subsampling方法计算临界值时子样本量b的选取会对其产生一定的影响。

4 结论

本文应用DF型比率统计量研究新息为方差无穷重尾序列的持久性变点检验问题,得到统计量的渐近分布,但分布中含有未知参数,难以计算,因此应用subsampling方法来确定渐近分布的临界值并证明了该方法的一致性。最后,Monte Carlo模拟说明subsampling方法的合理性。

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Subsampling Testing for Persistence Change in Heavy-Tailed Series

QIN Ruibing,LIU Yang

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

This paper deals with the detection of persistence change in the heavy-tailed series with the infinite-variance innovations. In order to get better empirical sizes, the DF ratio statistic is extended and the asymptotic distribution is obtained. Subsampling method is applied to calculate the critical value of the statistic without estimating the tail indexκand the validity of subsampling method is established.Moreover,Monte Carlo simulations demonstrate the validity of the statistic and subsampling method.

subsampling;persistence change;heavy-tailed;DF ratio statistic

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.005

2016-07-11；

2016-11-29

国家自然科学基金(71501115)；中国博士后科学基金(2013T60266)

秦瑞兵(1979-)，男，博士，主要研究方向：时间序列分析。E-mail:rbqin@sxu.edu.cn

O29

A

0253-2395(2017)02-0209-07