2-PRC-PR(C)并联机构减振平台及其动力学特性

2017-05-25刘乃军牛军川

中南大学学报（自然科学版） 2017年4期

刘乃军，牛军川

刘乃军，牛军川

(山东大学机械工程学院，高效洁净机械制造教育部重点实验室，山东济南，250061)

为满足工程中机械设备对多维振动和冲击的隔离要求，设计一种新型2-PRC-PR(C)并联机构减振平台。该平台是在3-PRC并联机构的基础上，通过把一支链和上平台连接处的圆柱副改为一复合运动副，使该机构实现三自由度3-PRC并联机构与四自由度2-PRC-PR^C并联机构之间的切换，并在主动副处辅以弹簧阻尼，使该机构能够实现三维隔振与四维隔振。对该机构进行运动学和动力学分析，在此基础上将系统参量分类，并对参数较多类别采用正交试验法，分析各参数对系统固有频率的影响规律和贡献量。研究结果表明：多维减振平台中有关参量对系统固有频率的影响具有不同于单自由度减振装置的特性。

并联机构；减振平台；固有频率；正交试验法

精密仪器仪表、车载、船载、航空航天等机械设备在工作时都会受到大量的多维振动和冲击，成为影响设备性能和使用寿命的主要因素[1−3]。传统的隔振技术已不能满足当前生产实际的需求，主要表现在2个方面。首先，传统的隔振方法主要是采用弹簧、柔性橡胶等弹性材料或多层常规单自由度弹性阻尼装置来进行隔振。由于弹性材料的性能不稳定，且对多维减振效果不明显，而多层常规单自由度弹性阻尼装置结构十分复杂，且仅能满足少维隔振的需求；其次，随着科技的发展，众多机械设备的复杂化程度越来越高，同一机械设备的工况及工作条件存在多样性，其所受振动和冲击的维数会随之改变，这对隔振装置提出了新的要求。为解决多维隔振问题，近年来众多学者将具有刚度大、结构稳定、承载能力强、运动惯量小等优点的并联机构应用于振动控制领域。马履中等[4−6]提出了可采用并联机构作为多维减振平台的基体，并列举了部分适于做多维减振平台的多自由度机型；YIN等[7]以3-RRC并联机构作为减振主体，对多维减振系统的模态进行了分析；LI等[8]基于双层并联机构得到了一种隔振频带较宽的减振平台；GUO等[9]基于4-CPS/RPS并联机构，得到了一种船载主动隔振系统。近年来，诸多学者将具有结构简单、动态特性好等特点的3-PRC并联机构应用于多维减振装置，在一定程度上解决了多维振动问题。马履中等[10]论述了3-PRC并联机构应用于空间三平动方向三维减振装置的可行性；杨峰等[11]讨论了3-PRC并联机构的可调频减振特性；李勇[12]则对3-PRC等少自由度并联机构的减振进行了探讨。然而，上述文献所研究的减振装置的减振维数都不可变更，往往不能满足实际生产中振动和冲击的维数随时变化场合的隔振要求。在解决机械设备受到可变维数振动和冲击的问题方面，牛军川等[13]研究了一种3-CRR及其变胞减振机构，为变维数的振动隔离提供了一种思路。为很好地对受到多维且可变维数振动和冲击的机械设备进行隔振，尤其是对如行驶在崎岖路面上的车辆的空间三平动和一转动的设备进行隔振，本文在3-PRC机构的基础上给出了一种2-PRC-PR(C)并联机构。通过调节机构中复合运动副(C)，该机构可实现三自由度3-PRC并联机构与四自由度2-PRC-PR^C并联机构之间的切换。将2-PRC-PR(C)并联机构作为减振平台的主体，再在相应的主动副处辅以弹簧阻尼，能够同时满足三维隔振与四维隔振的要求。在此基础上研究其运动学、动力学特性。基于并联机构设计的减振平台与常规单自由度弹性减振装置的区别在于影响系统固有频率的参数众多，分析困难。本文作者将系统参数分类，并将所含参数较多类别采用正交试验法，分析减振平台各参数对系统固有频率的影响特性及贡献量。

1 并联机构多维减振平台模型

2-PRC-PR(C)并联机构是在3-PRC并联机构的基础上经过修改而来，即把3-PRC机构3点处的1个C副(圆柱副)修改为一复合运动副(C)，如图1所示。图2所示为该装置的等效简化构型和复合运动副(C)的结构图。可见：该机构由动平台(上平台)、静平台(下平台)及(123)，(123)和(123)3条支链组成。其中A和C这2条支链结构相同，均由1个移动副(P副)、1个与P副垂直的转动副(R副)和1个与R副平行的圆柱副(C副)串联而成，B支路由1个移动副(P副)、1个与P副垂直的转动副(R副)和1个复合运动副(C)串联而成。该复合运动副实际上是把原来的C副变成了1个移动方向不变的P副，然后在水平方向又固结了1个与之正交的十字轴，如图2(b)所示，该十字轴3分别又与滑块2和连杆4形成了2个转动副。并联机构通常存在多种构型。为使机构构型紧凑，本文中取2-PRC-PR(C)并联机构构型如图2(a)所示，即3个连杆3，3和3都向上平台内侧方向倾斜。

容易理解，当把复合运动副(C)中的十字轴3和滑块2的R副固定时，则2-PRC-PR(C)并联机构退化为3-PRC并联机构；当复合运动副(C)中的十字轴3和滑块2的R副存在相对转动时，2-PRC-PR(C)并联机构转化为2-PRC-PR^C并联机构，且对2-PRC-PR^C并联机构的分析可等效转化到3-PRC并联机构。因此，本文仅对2-PRC-PR^C并联机构进行分析。

图1 2-PRC-PR(C)联机构原理图

(a) 构型；(b) 复合运动副

2 减振平台运动学分析

在并联机构上建立笛卡儿坐标系如图1所示，根据基于约束螺旋理论的自由度分析方法[14]，易得2-PRC-PR(C)并联机构转化所得到的2-PRC-PR^C并联机构，其自由度为4；2-PRC-PR(C)并联机构转化为3-PRC并联机构，自由度为3。

2.1 正、逆运动学分析

根据几何条件，可得如下位姿约束方程。

(2)

(3)

若给定该机构上平台点位置的4个运动学输出x，y，z和，可得该机构的运动学逆解：

(5)

(6)

若给定该机构的4个运动学输入1，1，1和1，由式~得该机构的运动学正解。

2.2 速度分析

为分析机构的动力学特性，这里首先对速度进行分析。由式~可得：

(9)

(10)

将式~对时间求导并整理可得

(12)

(14)

(15)

(17)

(18)

若矩阵非奇异，由式可得

3 减振机构动力学模型及其固有频率

为方便构建基于2-PRC-PR^C并联机构的隔振系统动力学模型，本文采用改进后的拉格朗日方程建立系统的动力学方程：

式中，=1，2，…，；s为广义坐标；Γ为沿广义坐标s方向作用的广义力；为机构动能；为机构势能；为系统的阻尼能量耗散系数。

这里只考虑上平台质量，忽略各连杆质量和系统阻尼，可计算出机构的动能、势能，将其代入式，可得2-PRC-PR^C机构的动力学方程为

(22)

m和I分别为上平台质量和绕轴的转动惯量；k为系统的弹簧刚度。

系统自由振动时，令=0，由式可得

可以得到系统的特征方程为

(25)

4 系统各参数对固有频率的影响特性

对所设计并联机构减振平台初始参数取为：1=1.050 m，1=1=0.146 m，2=2=2=0.6 m，3=3=3=0.5 m，4=0.2 mk(=1，2，3)=400 kN/m，m=50 kg，44 000 N∙m/rad，I=0.627 kg/m2。得到该减振平台处于2-PRC-PR^C和3-PRC这2种不同机构下的固有频率如表1所示。进行仿真分析得减振平台处于2-PRC-PR^C机构形位下的四阶模态振型如图3所示。

由表1及图3可得：该减振平台的前3阶固有频率分别沿，和轴移动方向，减振平台处于2-PRC-PR^C机构状态时存在的第4阶固有频率沿轴的转动方向；减振平台处于2种不同机构形式下的第1阶、第3阶固有频率完全相同，第2阶固有频率略微存在差异，差值小于0.2 Hz。可见：减振平台处于3-PRC机构这一形位下的3阶模态信息，可通过略去减振平台处于2-PRC-PR^C机构形位下的第4阶模态等效得到。

系统固有频率与系统弹簧刚度、惯性参数、减振平台各几何尺寸等有关。参数众多，规律复杂，因此，理清各参数对系统固有频率的影响规律对减振平台设计尤为重要。鉴于减振平台3类参数(弹簧刚度参数、惯性参数、减振平台各几何尺寸参数)之间的独立性，下面依次分类讨论其对系统固有频率的影响特性。

表1 2-PRC-PR^C和3-PRC固有频率

(a) 第1阶模态振型；(b) 第2阶模态振型；(c) 第3阶模态振型；(d) 第4阶模态振型

4.1 弹簧刚度对固有频率的影响

采用控制变量法，系统弹簧刚度1，2，3和4四因素中某单一因素在(101~1015N/m)范围内变化，而其余3因素保持为初始参数，分别得到4因素1，2，3，4对系统4个固有频率的影响特性，如图4~7 所示。

由图4~7可得如下规律：

1) 弹簧刚度在较小取值范围(101~106N/m)内变化，减振系统4个固有频率随弹簧刚度1，2，3和4的增大而增大，该规律类似于单自由度减振系统。

2) 弹簧刚度在较大范围(106~1012N/m)内变化，系统固有频率4随弹簧刚度的增大而增大，而系统固有频率1，2，3都相应出现一段“停滞期”，即固有频率随弹簧刚度的增大保持不变。弹簧刚度在极大范围(1012~1015N/m)内变化，系统固有频率4随弹簧刚度1，2，3和4的增大而增大，而1，2和3都表现出一些不规律现象。可见由于减振系统中各弹簧刚度对系统刚度矩阵的强耦合作用，使某一弹簧刚度在大范围内变化时导致了系统固有频率产生了不同于单自由度减振系统的特性。

为综合分析系统弹簧刚度1，2，3和4分别对4个固有频率1，2，3和4的影响程度，本文采用正交试验法[15−16]进行分析。以系统4个弹簧刚度作为分析因素，综合考虑每个变量取为3个水平，因素水平取值如表2所示，构造正交试验表9(34)如表3所示。

将上述各数据组合代入式，对所得计算结果采用直观分析方法，可得第因素极差：

式中：=1，2，…，；X为第因素第水平下的第个数据结果；和分别为正交试验中的因素数和水平数；为各水平下的数据个数。

由式可得系统固有频率1，2，3和4分别在4因素1，2，3和4下的相应极差，如图8所示。

(a) 第1阶模态振型；(b) 第2阶模态振型；(c) 第3阶模态振型；(d) 第4阶模态振型

表2 系统弹簧刚度因素水平表

表3 L9(34)正交实验表

图8 弹簧刚度与系统固有频率的极差关系

由极差容易判断出系统固有频率f(=1，2，3，4)受弹簧刚度1，2，3和4因素的影响规律，也易判断某弹簧刚度k(=1，2，3，4)分别对系统固有频率1，2，3和4影响的关系。由图8可得：系统固有频率4，3，2和1受弹簧刚度影响程度依次递减；弹簧刚度4，1，2和3对固有频率4影响程度依次递减，弹簧刚度4，1，3和2对固有频率3影响程度依次递减，弹簧刚度4对固有频率2影响较大，1，2和3对固有频率2影响较小；弹簧刚度4对固有频率1影响较大，1，2和3对固有频率1影响较小。

4.2 惯性参数对固有频率的影响

上平台质量m及其绕轴的转动惯量I对系统固有频率的影响特性分别如图9及图10所示。从图9和图10可以看出：减振平台固有频率1，2，3和4都随上平台的质量及绕轴的转动惯量增加而减小，此性质类似于单自由度减振系统。

4.3 几何尺寸对固有频率的影响

如图1所示，本文所设计减振平台的几何尺寸包括减振平台主动输入1，1，1，1以及减振平台各杆件长度2，2，2，3，3，3，4和1。由式可得出，1，2和2对系统固有频率无影响，故只需讨论几何尺寸1，1，2，3，3，3，4和1对系统4个固有频率的影响关系。其中1和1对系统固有频率的影响特性如图11和图12所示。

采用正交试验法，以上述8个参量作为分析因素，综合考虑每个变量取2个水平，因素水平取值如表4所示，构造正交试验表12(28)如表5所示。

将各数据组合代入式，并将所得各结果代入式，可得系统固有频率1，2，3，4分别在8因素1，1，2，3，3，3，4和1下的相应极差，如图13所示。

由图13可以看出：1) 系统固有频率4受几何尺寸变化影响较大，且4，1，3，3，3，1，2和1对其影响效果依次递减；2)1，1，3，1，3，4，2和3亦对固有频率3产生影响，作用依次递减；3) 固有频率1和2受几何尺寸的影响较小。

表4 几何尺寸因素水平表

(a) 第1阶模态振型；(b) 第2阶模态振型；(c) 第3阶模态振型；(d) 第4阶模态振型

表5 L12(28)正交实验表

图13 几何尺寸与系统固有频率的极差关系

5 结论

1) 基于3-PRC并联机构，引入了1个复合运动副(C)，设计了一种2-PRC-PR(C)并联机构，该机构可通过改变复合运动副(C)的运动规律，转化为三自由度3-PRC并联机构或四自由度2-PRC-PR^C并联机构。基于该并联机构，在4个主动副处安装弹簧阻尼，得到了基于2-PRC-PR(C)的多维减振平台，可以满足三维隔振与四维隔振工况要求。

2) 对该减振平台进行了运动学、动力学分析。得到减振平台处于3-PRC机构这一形位下的3阶模态信息，可通过略去减振平台处于2-PRC-PR^C机构形位下的第4阶模态等效得到。

3) 影响减振平台固有频率的参数较多。鉴于部分参数之间的独立性，本文将系统参数分为弹簧刚度，惯性参数以及机构几何尺寸3类。对参数较多类别采用正交试验方法，分析了各系统参数对系统固有频率的影响特性。得到了各参数对各方向固有频率的影响规律和贡献量以及有关参量对系统固有频率的影响不同于单自由度减振装置的特性。本文为分析各参量对多维减振平台固有频率影响特性提供了一种新的思路，也为后期工作中设计具有特定固有频率组合的多维减振平台提供了依据。

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(编辑杨幼平)

2-PRC-PR(C) parallel mechanism platform for vibration isolation and its dynamics

LIU Naijun, NIU Junchuan

(Shandong University Key Laboratory of High-efficiency andClean Mechanical Manufacture,Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

In order to meet the requirement to reduce the multi-dimensional vibration and shock from equipment and machines, a vibration isolation platform was proposed based on a 2-PRC-PR(C) parallel mechanism. This mechanism came from a 3-PRC parallel mechanism by replacing one of the cylindrical pairs at the moving platform with a combined pair. Thanked to the combined pair, the proposed platform could be switched between 3-PRC parallel mechanism with 3 degrees of freedom and 2-PRC-PR^C parallel mechanism with 4 degrees of freedom. 3 or 4 dimensional vibration isolation could be realized when spring damping were put on the active motion pairs. The kinematics and dynamics of the system were studied, and then the influence principle and contribution of the platform’s parameters on its natural frequency were analyzed by orthogonal experiment method. The results show that the relevant parameters effects on the natural frequency of the system are different from the single degree of freedom vibration reduction device.

parallel mechanism; vibration isolation platform; natural frequency; orthogonal experiment method

TH112

1672−7207(2017)04−0925−11

10.11817/j.issn.1672−7207.2017.04.011

2015−05−06；

2015−06−16

国家自然科学基金资助项目(51275275，51675306)；山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目(BS2010ZZ006) (Projects(51275275, 51675306) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BS2010ZZ006) supported by Research Award Fund for Outstanding Young Scientists of Shandong Province)

牛军川，博士，教授，从事机械系统动力学、振动与噪声控制研究；E-mail：niujc@sdu.edu.cn