对“包含除”的再思考

熊小红

最近读了张奠宙先生的文章《教材编写要注意防止片面的思维定式———评小学数学教材中忽视“包含除”的倾向》，我非常赞同张老师的观点，并对这个知识点有了更深的认识。

一、对文章中几个观点的理解

观点一：等分除和包含除是一对“孪生兄弟”。

张老师说这是两种不同意义的除法。知道总数，知道平均分的份数，求每份是多少，俗称“等分除”；知道总数，知道每份是多少，问有多少份，即总数里包含多少份，俗称“包含除”。这两种除法是同一个平均分物数学模型所产生的，地位平等。

小学教材里分数的定义大多采用按固定人数分月饼的模型引入并强化，对度量“一段小于单位的余量”的包含除模型则回避不谈。此外，应用题的求解过程中涉及的基本关系大多是行程问题、工程问题、价格问题等，这些基本关系都涉及两个因数相乘。应用题的变化，就是知道總量及一个因数，设法求出另一个因数。因此，在各种问题的提法上都有相当于等分除和包含除两种类型的差异。如能均衡地对待等分除和包含除，则有利于后续的应用题教学。

观点二：从等分除到包含除：培养学生提出问题的能力。

张老师说，在除法单元中，应该更多地关注如何多样化地提出问题，不要局限于等分除的问题。我们甚至可以要求学生对其中8个小节，在保持数据不变、计算要求相同的条件下，将等分除的问题再提出一个不同类型的除法问题来。

二、结合文中观点，谈谈我自己的看法

1.学生不需要理解哪些题是等分除，哪些题是包含除。

教材中虽然没有出现包含除和等分除的名称，但在具体的情境中，包含除和等分除这两种情况都有体现。比如，在分香蕉中，把12根香蕉平均分成2份，每份6根，这一分物活动用算式表示为：12÷2=6，就是所谓的等分除；12根香蕉，每4根装一盘，需要几个盘子？这一分物活动用算式表示为：12÷4=3，就是所谓的包含除。虽然这两种形式在教材中都有体现，但这里的分物活动不出现等分除、包含除，而是力求在分物活动中，让学生利用自己的策略实际进行操作，并在操作中感悟除法的含义。

2.教师不必对除法作如此细致的划分。

我们在生活中面对一个具体的分配东西的问题时，是否会先区分它是属于包含除还是等分除？除法就是分配东西，实际生活中人们不可能会有这样的区分。比如，如果有12个一元硬币，你要把它平均分给6个人，该怎么分？学生可能不知道什么是等分除，但会说每人2个，列出算式：12÷6=2（个）。而对问题：如果有12个一元硬币，要去买6元一瓶的雪碧，你可以买几瓶？学生也可能不知道什么是包含除，但是会想6个硬币买一瓶，这里有买2瓶的钱，列出算式：12÷6=2（瓶）。由此看来，在实际生活中遇到除法时，我们不可能先在头脑里区分是等分除还是包含除，而是直接进入分配物体的计算。

无论是等分除还是包含除，学生只要理解除法的意义：即每份同样多就是平均分，会用除法解决平均分的问题即可。

（作者单位：长沙市芙蓉区大同第二小学）