两类换元积分法的比较

付丽娜　樊小琳　姜永胜　陈星

【摘 要】换元积分法是计算积分的重要方法。本文主要从三个方面对两类换元积分法进行比较，分别给出了两类换元积分法的适用范围及一些计算积分的解题技巧。

【关键词】积分；换元积分法；比较研究

Comparison of Two Kinds of Integration by Substitution

FU Li-na FAN Xiao-lin JIANG Yong-sheng CHEN Xing

（Basic Courses Department of Xinjiang Institute of Engineering，Urumqi Xinjiang 830011，China）

【Abstract】The Integration by substitution is an important method to solve the integral problem.This article mainly comparing the two kinds of Integration by substitution from three aspects and then respectively gives the scope of application of two kinds of variable integral method and some problem-solving skills.

【Key words】Integration；Integration by substitution；The contrastive study

0 引言

积分是高等数学的重要内容，而学好积分的基础是不定积分的计算，众所周知计算不定积分的常用方法有以下三种：直接法，换元积分法，分部积分法，其中换元积分法作为一种计算不定积分的重要方法，又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法，而区分和正确使用这两类换元积分法对于初学者来讲往往有一定的难度。为了帮助读者更好的理解换元积分法，本文主要从三个方面，即：When、Why、What，对两类换元积分法进行比较，这将为读者在利用换元积分法计算不定积分时提供一种清楚明了的思路。

1 基础知识

2 两类换元积分法的比较

2.1 When：何时选用第一类换元积分法，何时选用第二类换元积分法？

从上述两个定理可以看出，换元积分法主要用来计算被积函数是复合函数的不定积分，而换元积分法有两类，那么对于一道利用换元积分法计算的不定积分题目，选择正确的方法是解题的第一步，因此区分何时选择第一类换元积分法，何时选择第二类换元积分法显得尤为重要。经验表明，我们通常根据被积函数的具体形式来选择合理的方法。

当被积函数是以下形式时，选择第一类换元积分法。

1）当被积函数与积分基本公式表中的被积函数形式一样，只是积分变量相差常数时；如？蘩 e4xdx、？蘩 cos（3x+4）dx等。

2）当被积函数其中一部分的导数恰好是另一部分或只与另一部分相差常数时；如？蘩dx、？蘩 xedx等。

当被积函数是以下形式时，选择第二类换元积分法。

1）当被积函数含有根式（其中a，b为常数，a≠0），采用无理代换，即令t=，代入被积函数去掉根号的同时将关于x的不定积分转化为关于t不定积分；如？蘩dx、？蘩dx等。

2）當被积函数含有形如，、等式子时，采用三角代换，分别令x=asint（或x=acost）、x=asect、x=atant代入被积函数利用三角公式去掉根号，需要注意的是在具体问题中需要注明t的范围，以保证题目有意义，这一点在下文将做说明；如？蘩dx（a>0）、？蘩dx（a>0）等。

3）当被积函数中含有时，采用倒数代换，令t=，代入被积函数去掉倒数；如？蘩dx。

2.2 Why：为什么这样选择？

由上面的阐述，对于利用换元积分法计算的不定积分，根据被积函数的具体形式，我们可以明确的选择用第几类换元积分法。然而，仅仅会选择方法还不够，要明白为什么这样选择，将有助于理解两类换元积分法的本质，从而做到举一反三，融会贯通。

从第一类换元积分法定理可以看出，第一类换元积分法是从被积函数中找出？渍（x）=u，得到新的被积函数f（u），将剩下的一部分和dx组合恰好凑出新的微分du，此时将原不定积分转化成可以直接计算的不定积分？蘩 f（u）du，最后将u=？渍（x）代回即可。实际上可以看出第一类换元积分法的重点是找到合适的u=？渍（x），进而凑出新的微分du，所以第一类换元积分法也叫凑微分法。

第二类换元积分法是寻找一个单调可导的函数x=？渍（t），从而将不定积分转化为容易计算的积分，从上面所列的适用于第二种换元积分法计算不定积分的形式可以看出，引入新的变量t的目的是将积分化简，而无理代换和三角代换的目的都是去掉根号，倒数代换的目的去倒数，所以可以将第二类换元积分法归结为：“看谁不顺眼就换掉谁”。

2.3 What：怎样利用换元积分法求解不定积分？

确定了使用哪种换元积分法解题之后，准确无误的解出题目也需要一定的技巧，本文这一部分将通过上面提到的一些例子来说明怎样利用两类换元积分法计算不定积分。

通过以上例子可以看出对于利用换元积分法求不定积分的题目，通过观察特征，确定方法，认真计算的过程就可以解决问题。这里需要注意的是，有些题目方法并不唯一，所以我们在学习工作的过程中要勤思考，多研究，勇于发现新的方法与思路。

3 总结

通过以上三个方面的比较，可以看出两类换元积分法虽然定义不一样，适用的范围不一样，但这两类换元积分法又是紧密联系的，不论哪类换元方法，目的都是将不定积分转化为容易计算的形式，而且有一些题目既可以用第一类换元积分法，也可以用第二类换元积分法，所以不能将换元积分法分开来看，而是从整体出发，看哪类换元积分法更容易将复合函数的不定积分化为简单的、容易计算的不定积分。

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[责任编辑：田吉捷]