α稳定分布噪声下数字频移键控信号的分数低阶循环谱分析

刘高辉 张娟娟

(西安理工大学自动化与信息工程学院,西安 710048)

α稳定分布噪声下数字频移键控信号的分数低阶循环谱分析

刘高辉 张娟娟

(西安理工大学自动化与信息工程学院,西安 710048)

针对α稳定分布噪声环境下数字通信信号的二阶与高阶循环统计特征显著退化问题,结合分数低阶矩和共变理论对二进制频移键控(Frequency Shift Keying, FSK)信号的分数低阶循环谱公式进行了理论推导,并对2FSK信号在不同混合信噪比、分数阶因子和特征指数条件下的分数低阶循环谱进行了详细的仿真分析. 理论和仿真结果表明:2FSK信号分数低阶与二阶的循环谱结构相同,其谱峰对应的循环频率相同,谱峰的幅度值不同,取决于循环谱的阶因子. 相对于在低混合信噪比下失效的二阶循环谱,分数低阶循环谱对α稳定分布噪声具有更强的抗干扰性和适用性.

α稳定分布噪声;2FSK信号;分数低阶矩;共变理论;混合信噪比

DOI 10.13443/j.cjors.2017011001

引 言

在传统的通信信号处理和雷达信号处理领域,信号的背景噪声都被假定服从高斯分布,这种假设在大多数情况下是合理的. 近年来,随着无线电技术的飞速发展,各种各样的无线通信系统、雷达系统等信息化电子设备的数量与日俱增,导致无线系统接收信号的背景噪声和干扰的强度日益增强,其统计特性在一些极端条件下具有非高斯性和非平稳性,如无线系统接收信号中出现的多用户干扰、大气低频噪声、自然界或人为产生的电磁脉冲噪声通常表现出非高斯性,其时域波形具有显著的尖峰特性,其幅度分布的概率密度函数具有较厚的拖尾特性. 因此,如果在无线通信系统中全部采用高斯分布模型来描述背景噪声和干扰,将会由于模型与实际噪声和干扰不匹配而导致所设计的信号处理算法性能严重退化. 利维(Levy)在1925年研究广义中心极限定理时,首次提出α稳定分布的概念,它能够很好地描述在时域具有显著尖锐脉冲特性的非高斯噪声. 因此α=0稳定分布的概念在数学界得到了广泛应用,但是在信号处理领域并没有得到发展和应用. 直到1993年经由C.L.Nikias等的系列论文[1-3],α稳定分布的概念和理论才开始在信号处理领域得到了重视,并且在近十年中得到了迅速发展和广泛应用.

在无线通信中的各种通信信号由于载波调制、编码、分数采样等因素,通常为循环平稳信号,其二阶和高阶循环统计量是目前进行信号检测和调制识别的有力工具[4-9]. 1987年,W.A.Gardner等人详细介绍了调幅(Amplitude Modulation, AM)、频率调制(Frequency Modulation, FM)、相位调制(Phase Modulation, PM)、二进制相移键控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)、四进制相移键控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)以及频移键控(Frequency Shift Keying, FSK)等不同类型通信调制信号的频谱相关函数[4-6]. 但是,在α=0稳定分布噪声背景下,其二阶和高阶矩不存在. 因此,基于二阶统计量有限假设的信号处理方法(如最小二乘估计,最大似然估计,循环谱相关方法等)将会显著退化,甚至会导致错误的结果. 1993年,C.L.Nikias等在文献[1-3]详细分析了α稳定分布的基本特征以及α稳定噪声下的分数低阶矩理论．文献[10-11]对高斯噪声和脉冲噪声环境下的QPSK信号的频谱相关函数进行了分析,结果表明脉冲噪声对信号的二阶循环谱有很大影响. 文献[12]对非高斯噪声下的BPSK信号的循环谱进行了分析,得到了BPSK信号的分数低阶循环谱结构.

频移键控技术由于在抗干扰能力和对信道适应性等方面的突出优点,成为衰落信道下无线通信系统的一种主要调制技术. 迄今为止,对FSK信号分数低阶循环谱的理论研究及仿真尚未见报道. 本文在前人的研究基础上,结合分数低阶矩理论以及循环平稳理论推导了二进制FSK信号的分数低阶循环谱,并在α稳定分布噪声下,对不同混合信噪比、不同特征指数α和不同阶因子p的条件下对2FSK信号的分数低阶循环谱进行了仿真分析.

1 基于共变的α稳定分布分数低阶循环谱定义

1.1α稳定分布特征函数

由于α稳定分布的概率密度函数不存在统一、闭式的解析表示式,因此通常用特征函数对其进行描述. 标准参数系下α稳定分布的特征函数定义式为[8]

(1)

1.2 基于共变的分数低阶循环谱定义

分数低阶矩是一种分析处理非高斯信号的有力工具,若随机信号的特征指数为α,则只有阶数小于α的统计矩是有限的.对于α稳定分布噪声下的信号x(t),分数低阶矩定义式为

E[|X|p].

(2)

式中，p为分数阶因子,其取值范围为0

(3)

式中:τ为时间延迟;p为阶因子,其取值范围为[1,α),α为背景噪声特征指数,取值范围为[1,2]. 若COVx,p(t,τ)是关于t的周期函数,将其展开成傅里叶级数,傅里叶级数系数就是信号的分数低阶循环自相关函数,其表示式为

(4)

(5)

式中:f为常规频率. 显然,当阶因子p=2时,分数低阶循环谱密度函数即为二阶循环谱密度函数.

2 2FSK信号的分数低阶循环谱理论推导

假定2FSK信号x(t)表示为

(6)

(7)

由复数过程的〈p〉符号运算定义式x〈p〉=|x|(p-1)·x*可知:

(8)

(9)

将式(8)和式(9)带入式(7)中,则2FSK信号x(t)的p阶共变可表示为

(10)

同理,由实数过程的〈p〉符号运算定义式

x〈p〉=|x|p·sgnx可知

(11)

(12)

同理可得

(13)

将式(11)、式(12)和式(13)带入式(10)中,则式(10)可化简为

(14)

式(14)第一项中求期望部分可以表示为

(15)

因为随机序列an为广义平稳序列,其自相关函数可以表示为Ra(m)=E[anan+m],故式(15)可表示为:

(16)

式(16)中,m=q-n. 同理,式(14)中第二项求期望部分可以表示为

(17)

同理,可得到式(14)中第三项和第四项期望的结果.

COVx,p(t,τ)=kp1·

(18)

(19)

(20)

式(20)中：β=m/Ts,m为整数. 则式(18)可表示为

Rxx(τ)·[ej2πf2τ+e-j2πf2τ+ej4πf2t+e-j4πf2t].

(21)

对式(21)求傅里叶系数得

(22)

由于傅里叶级数的系数即为循环自相关函数,因此,结合式(20)整理式(22)即可得2FSK信号的分数低阶循环自相关函数的表达式为

(23)

对式(23)再求一次傅里叶变换,即可得到2FSK信号的分数低阶循环谱密度函数.

通过上述2FSK信号分数低阶循环谱的理论推导可知,当循环频率ε=β+k时,2FSK信号存在循环谱线,其中β=m/Ts(m为整数),k=0、±2f1和±2f2. 显然循环谱谱峰对应的循环频率与2FSK信号的码元速率和载波频率有关.

3 2FSK信号分数低阶循环谱仿真分析

本文采用离散频域平滑估计算法,对在不同混合信噪比(Mixed Signal-to-Noise Ratio, MSNR)、不同特征指数α以及不同分数阶因子p条件下2FSK信号的分数低阶循环谱进行了计算仿真与分析.

3.1 不同MSNR下分数阶循环谱曲线

噪声和信号参数分别为:特征指数α=1.8，对称参数β=0，分散系数γ=1和位置参数δ=0;2FSK信号的载频f1=154 Hz,载频f2=205 Hz,符号间隔Ts=0.5 s.

仿真条件为:分数低阶因子p=1.5,数据长度N=2 560,频域平滑点数为20. 对2FSK信号在 MSNR为[8, 4,-2] dB时分数低阶循环谱截面如图1、图2和图3所示. 为了对比分析,本文还给出了在相同信号参数和仿真条件下,MSNR分别为8 dB和4 dB时2FSK信号的二阶循环谱曲线,如图4和图5所示.

图1 MSNR为8 dB时2FSK信号的p=1.5阶循环谱截面

图2 MSNR为4 dB时2FSK信号的p=1.5阶循环谱截面

图3 MSNR为-2 dB时2FSK信号的p=1.5阶循环谱截面

图4 MSNR为8 dB时2FSK信号的二阶循环谱

图5 MSNR为4 dB时2FSK信号的二阶循环谱

从图1、图2和图3的仿真结果可以明显地看出,在α稳定分布噪声下,采用分数低阶循环谱的算法,当混合信噪比大于-2 dB时2FSK信号的循环谱中谱峰的位置都能够比较清楚地观察到. 而从图4和图5的仿真结果可以明显地看出,在相同的条件下,2FSK信号的二阶循环谱线的谱峰在混合信噪比为8 dB时就已完全看不清．这说明传统二阶循环谱算法在较高信噪比时已经失效,检测不出来信号所对应的谱线．而基于分数低阶循环统计量的方法在较低信噪比时仍然能够明显地检测出2FSK信号的谱线. 基于分数低阶循环谱的算法在α稳定分布噪声背景下比二阶循环谱算法更有效.

3.2 不同特征指数α下分数阶循环谱曲线

噪声和信号参数分别为:特征指数α=1.8，对称参数β=0，分散系数γ=1和位置参数δ=0;2FSK信号的载频f1=154 Hz,载频f2=205 Hz,符号间隔Ts=0.5 s.

图6 α=1.6时2FSK信号p=1.5阶循环谱

图7 α=1.4时2FSK信号p=1.5阶循环谱

图8 α=1.2时2FSK信号p=1.5阶循环谱

图9 α=0.8时2FSK信号p=1.5阶循环谱

仿真条件为:分数低阶因子p=1.5,数据长度N=2 560,频域平滑点数为20. 在特征指数α分别为[1.6,1.4,1.2,0.8]时,2FSK信号分数低阶循环谱曲线如图6、图7、图8和图9所示.

从图6、图7、图8和图9的仿真结果可以看出:随着特征指数α减小,其循环谱线变得越来越不明显,当α<1时,信号的谱线完全淹没在噪声当中.这是因为α稳定分布噪声的特征指数α越小,脉冲特性越强,对谱线的影响就越大,而且本文基于共变的算法也只适用于α>1的情况．仿真结果与理论分析相一致.

3.3 不同分数低阶因子p下循环谱曲线

噪声和信号参数分别为:特征指数α=1.8，对称参数β=0，分散系数γ=1和位置参数δ=0;MSNR为4 dB,信号载频f1=154 Hz和f2=205 Hz,符号间隔Ts=0.5 s.

仿真条件为:数据长度N=2 560,频域平滑点数为20. 在分数阶因子p为1.8和1.5时,2FSK信号分数低阶循环谱曲线如图10和图11所示.

从图10和图11的仿真结果可以看出:分数阶因子p只对循环谱的峰值有所影响,并不会影响循环谱峰的位置,而且p值越大,循环谱峰值也越大.

图10 α=1.8时2FSK信号p=1.8阶循环谱

图11 α=1.8时2FSK信号p=1.5阶循环谱

4 结 论

本文结合分数低阶矩和共变理论对α稳定分布噪声下2FSK信号的分数低阶循环谱进行了理论推导,并对2FSK信号在不同混合信噪比、分数阶因子和特征指数条件下的分数低阶循环谱进行了详细的仿真分析. 从仿真结果中可以得到以下结论:1)2FSK信号的分数低阶循环谱和二阶循环谱具有相同的谱结构,二者的循环频率相同,只是谱线峰值有所不同,其值取决于分数阶因子p;2)在α稳定分布噪声下,MSNR为8 dB时2FSK信号的二阶循环谱线已经完全淹没在噪声里面,而在相同条件下基于分数低阶循环统计量的方法在MSNR为-2 dB时仍然能够明显地检测出2FSK信号的循环谱线;3)随着特征指数α的减小,信号的分数阶循环谱线变得越来越不明显,当α<1时,循环谱线完全被淹没;4)分数阶因子p对循环谱峰位置没有影响,只是对谱峰的数值有所影响. 这些仿真结果表明α稳定分布噪声下2FSK信号的分数低阶循环谱的结构、循环频率、循环谱峰值等可以作为MFSK信号的识别、参数估计和检测的特征量,相对于二阶循环谱,分数低阶循环谱特征对α稳定分布噪声具有更强的抗干扰性和适用性.

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张娟娟 (1992-),女,甘肃人,西安理工大学自动化与信息工程学院硕士研究生,研究方向为通信信号处理.

Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the alpha stable distribution noise

LIU Gaohui ZHANG Juanjuan

(SchoolofAutomationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

Aiming at the significant degradation of the statistical characteristics of the second and higher order cycle of the digital communication signal in the alpha stable distributed noise environment, the fractional lower-order cyclic spectrum formula of the frequency shift keying(FSK) signal is deduced with the fractional lower-order moments and the covariant theory. Then, the low-order cyclic spectrum characteristics of 2FSK signal under different mixed signal-to-noise ratios, fractional factors and characteristic exponents were analyzed in detail. The theory and simulation results show that the low-order and second-order cyclic spectrum structures of the 2FSK signal are the same, and the peak frequencies of the 2FSK signal are the same, but the amplitude of the spectrum is different that depending on the order factor of the cyclic spectrum. Fractional lower-order cyclic spectrum has stronger anti-interference and applicability to alpha stable distributed noise.

alpha stable distribution noise; 2FSK signal; fractional lower order moment; covariant theory; mixed signal-to-noise ratio

2017-01-10

国家自然科学基金(No.61671375)

10.13443/j.cjors.2017011001

TN911.7

A

1005-0388(2017)01-0065-08

刘高辉 (1968-),男,陕西人,西安理工大学自动化与信息工程学院副教授,博士,研究方向为通信信号处理和雷达信号处理.

联系人： 刘高辉 E-mail: liugh68@xaut.edu.cn

刘高辉, 张娟娟.α稳定分布噪声下数字频移键控信号的分数低阶循环谱分析[J]. 电波科学学报,2017,32(1):65-72.

LIU G H, ZHANG J J. Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the Alpha stable distribution noise[J]. Chinese journal of radio science,2017,32(1):65-72. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017011001