高中数学逻辑关系命题的一种变式研究

朱云霞

[摘 要] 考试评价是了解学生学习效果的重要手段，要进行考试就必须研究命题，而命题形式的创新一直是评价研究的难点. 高中数学中逻辑关系知识点命题常见形式是进行充分条件、必要条件、充要条件的判断，这种命题形式在高考数学命题中经常出现. 逻辑关系命题的变式，突破了常规的形式，有助于实现测评激励和导向功能，反映了学生思维的过程，能帮助学生积累数学的基本经验.

[关键词] 数学；逻辑关系；命题形式；变式研究

问题的提出

考试评价是了解学生学习效果的重要手段，有着导向、激励、反馈和调控等多方面的功能. 要进行考试评价就必须研究命题，而命题形式的创新一直是评价研究的难点. 数学课程从“双基”到“四基”的变化，要求命题必须反映这种变化.但受标准化命题思维习惯的影响，无论是中考题、高考题还是平时的单元测试题，题型无外乎选择题、填空题、计算题、应用题等，总给人一种一成不变、单一呆板的感觉. 高考题的命题立意，并未跟上课程改革的要求，仍然是知识立意，并未转向能力和素质要求. 如果要问一个高三学生数学高考题的形式，他一定会回告诉你：一般来说试卷有22个题，其中选择题12个，填空题3个，后面的大题第1题通常是解三角形，第2题是立体几何，第三题是概率统计……学生如数家珍.这一方面说明学生对高考题型了然于胸，研究透彻，另一方面也说明容易受命题的影响，养成思维定式. 因此，研究命题的新的形式，对学生而言有着重要的意义.

充分性判断命题的常见形式

逻辑推理是数字的重要特点. 数学中的逻辑推理是从一个真的前提，即是从事实、定义、公理、定理、判断出发必然地推出一些符合实际的、科学的结论. 数学逻辑连接词是逻辑推理的基础，是高中数学学习中的重要知识点. 在编制该知识点测试题时，一般而言要求进行条件判定，通常有三种形式：充分条件、必要条件、充要条件的判断，我们都称为充分性判断. 对于两个数学命题p，q，若由条件p成立，可以推出q成立，即p？圯q为真命题，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p既是q的充分条件，又是q的必要条件，即p？圳q为真，则称p是q的充要條件，同理q也是p的充要条件.

充分性判断这种命题形式，在数学高考试题中经常出现.例如，2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）选择题目第5题就是关于条件的判断，该题为：设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n<0”的什么条件？其备选答案有：

A. 充要条件

B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件.

对于该题，因a2n-1+a2n<0？圳a1（q2n-2+q2n-1）<0？圳q2（n-1）（q+1）<0？圳q<-1，所以答案C是正确答案.

2016年四川省高考理科数学试题第7题也是逻辑关系判断题目，该题是这样叙述的：

设p：实数x，y满足（x-1）2+（y-1）2≤2，q：实数x，y满足y≥x-1，y≥1-x，y≤1，则p是q的

（ ）

A. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 重要条件

D. 既不充分也不必要条件

高考具有“指挥棒”的作用，只要高考中出现的试题形式，就是平时练习的重点. 因此，在平时练习和测试中，也经常出现条件判断类型的试题，并且常常以选择题的形式出现，形成固定的形式，只是命题选择的知识点不一样.

充分性判断命题的变式

管理类专业学位研究生入学测试数学试题的命题范围都是中小学数学内容，其中一种题型被称为条件充分性判断，可以看成是充分性判断的变式.该题型是给出题干，条件（1）和条件（2），要求学生判断所给出的条件（1）、条件（2）能否充分支持题干中陈述的结论，并约定以下选择：

A. 条件（1）充分，但条件（2）不充分；

B. 条件（2）充分，但条件（1）不充分；

C. 条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分；

D. 条件（1）充分，条件（2）也充分；

E. 条件（1）和（2）单独不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分.

为了对该变式有更直观的理解，下面举例说明：

例1：x<3成立，

（1）x<2，（2）x-5<0.

解：由（1）x<2，可以得x<3成立；由（2）x-5<0，解得x<5，不一定能得到x<3，因此是条件（1）充分，条件（2）不充分，选择A.

例2：x99+y99取得两个不同的值，

（1）实数x，y满足条件（x+y）99=-1，（2）实数x，y满足条件（x-y）100=1.

分析：利用特殊值方法，由条件：实数x，y满足条件（x+y）99=-1不能推出x99+y99可取两个不同的值. 例如，取三组不同的值x=-1，y=0；x=-2，y=1；x=-3，y=2，此时x，y的取值满足条件（x+y）99=-1，但x99+y99的值分别为-1，-299+1，-399+299. 即是说，只有条件实数x，y满足条件（x+y）99=-1，不能得到题干x99+y99取得两个值的结论. 同理，取三组不同的值x=1，y=0；x=2，y=1；x=3，y=2，实数x，y满足条件（x-y）100=1，但也不能推出x99+y99取两个值.

如果把条件（1）和条件（2）联合，此时条件变为：x+y=-1，x-y=1和x+y=-1，x-y=-1，两个方程组的解分别为x=0，y=-1，x=-1，y=0，代入x99+y99得其值均为-1，因此，应该选择E.

在一次平时数学测试中，采用该变式形式命了一道选择题. 首先如上述一样给出要求和约定，然后呈现题目，并让学生进行选择.该题如下：

题干：a，b是实数，满足：a（a+b）>aa+b.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

条件：（1）a<0，（2）b>-a.

题目引起学生的广泛兴趣，测评结束后学生普遍反映，该题形式新颖，知识点虽然简单，但却不能确定自己的答案是否正确. 实际上，学生在回答这种类型的题时，必须根据信息重新命题，通常是3种情况的命题：

第1题：a，b是实数，若a<0，问a（a+b）>aa+b是否成立？？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

第2题：a，b是实数，若b>-a，问a（a+b）>aa+b是否成立？

第3题：a，b是实数，若a<0，b>-a，问a（a+b）>aa+b是否成立？

题目答题的过程反映了学生思维的过程，能帮助学生获得数学的基本知识，积累数学基本经验，命题符合课程改革的要求，也符号学生实际. 数学是思维的学科，在数学教学和平时测试中，让题型丰富多彩，能使学生感到既有趣又轻松，从而实现考试评价激励和导向的功能. 在高考命题时，也不妨试一试这种形式的命题.