非线性脉冲系统的渐近稳定性条件

倪郁东， 刘 伟， 倪汗青, 彭振宇

(1.合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工业大学 电气与自动化工程学院,安徽 合肥 230009)

非线性脉冲系统的渐近稳定性条件

倪郁东1， 刘 伟1， 倪汗青2, 彭振宇1

(1.合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工业大学 电气与自动化工程学院,安徽 合肥 230009)

文章研究脉冲量和微分系统均为非线性形式的脉冲系统的渐近稳定性。该文通过建立脉冲系统的比较系统并分析其稳定性的方法,针对具有有限范数的非线性微分系统,给出了该类系统在具有有限范数的非线性脉冲作用下渐近稳定的充分条件,并通过数值模拟验证了所述方法的有效性。

非线性;脉冲系统;渐近稳定性;脉冲量;比较系统

0 引 言

一般脉冲系统可以描述为下列形式

(1)

其中,k=1,2,…；x∈Rn是状态变量；f(t,x(t)):Rn→Rn；uk(x):Rn→Rn都是连续函数；τk<τk+1,τ1>0,且当k→∞时,τk→∞。

因为脉冲系统具有响应速度快,其鲁棒性和抗干扰性表现突出,很多学者对其研究和进行应用[1-6], 所以对给定了脉冲量的脉冲系统,分析脉冲系统是否渐近稳定是必要的。脉冲系统(1)的平凡解的稳定性不仅和右端函数f(t,x(t))有关系,而且和脉冲量uk(x)有关系。许多学者对右端函数和脉冲量为线性函数的脉冲系统研究较多;另外对右端函数为非线性函数、脉冲量为线性函数或对右端函数为线性函数、脉冲量为非线性函数的研究较多,但是对右端函数和脉冲量都为非线性函数的脉冲系统研究较少。例如,文献[7]仅考虑了右端函数为非线性函数Ax+f(x)、脉冲量为线性函数Bx的脉冲系统,给出了这种形式的脉冲系统渐近稳定性的充分条件,并对数值示例进行分析,但没有考虑脉冲量为非线性函数的情况。虽然某些非线性系统在加了线性脉冲量之后,系统也可以达到渐近稳定状态,但是控制的效果不太好,需要控制较长时间才能达到渐近稳定状态,而非线性脉冲量的控制效果较好,因此研究脉冲量为非线性的系统是必要的。文献[8]考虑到脉冲量为不同形式时对脉冲系统渐近稳定性条件的影响,给出脉冲量为非线性函数φ(x)、脉冲量为线性函数与非线性函数的和函数Bx+φ(x)以及脉冲量为可变线性函数Bkx3种形式下脉冲系统的渐近稳定性条件,并给出例子说明条件是正确的;但是右端函数是线性函数Ax形式,没有考虑右端函数是非线性的情况,因此同时考虑右端函数和脉冲量都为非线性函数的系统是必要的。文献[9]考虑了3种情况的脉冲系统的渐近稳定性,其中有2种情况的脉冲量是非线性函数φ(x)形式、线性函数与非线性函数的和函数Bx+φ(x)形式,其实这2种情况并没有本质的区别,都是具有非线性脉冲量的脉冲系统,只是形式上有所不同。脉冲量Bx+φ(x)是将脉冲量φ(x)中的线性部分分离出来,实际上都是非线性脉冲量,2个脉冲量没有任何区别,脉冲量为Bx+φ(x)形式的脉冲系统只是脉冲量为φ(x)形式的脉冲系统的特殊情况。虽然没有本质区别,但是很方便判断系统是否稳定,因为在某些情况下把脉冲量φ(x)中的一部分或是全部线性部分分离,再判断稳定性比不分离线性部分的情况要方便。

本文考虑右端函数和脉冲量都为非线性函数时，非线性脉冲系统渐近稳定性的条件。主要给出右端函数和脉冲量为4种非线性形式下脉冲系统的渐近稳定性条件。第1种是右端函数和脉冲量都为非线性函数f(x)和φ(x)形式的控制系统;第2种脉冲系统,把右端函数f(x)中的一部分或是全部线性部分分离得到Ax+f(x),且脉冲量φ(x)中的一部分或是全部线性部分分离得到Bx+φ(x);第3种仅把右端函数f(x)线性部分分离得到Ax+f(x),而脉冲量仍为φ(x)形式的控制系统;第4种把脉冲量φ(x)线性部分分离得到Bx+φ(x),而右端函数仍为f(x)形式的脉冲系统。实际上,这4种形式的非线性脉冲系统并没有本质区别,都是非线性的,后3种形式只是把f(x)和φ(x)里的线性部分分离出来。虽然没有本质区别,但是在判断非线性系统稳定性时是方便的。文中4种形式的非线性脉冲系统渐近稳定性的充分条件由4个定理给出。最后,用一个例子说明定理中的条件是有效的。

1 预备知识

定义1 设V:R+×Rn→R+,称V是属于V0类的,需要满足条件：① 函数V在(τk-1,τk]×Rn上是连续的,且对每一个x∈Rn,k=1,2,…,有

② 函数V关于x局部满足Lipschitz条件且对所有的t∈R+,有V(t,0)=0。

定义2 定义右上导数为:

D+V(t,x)=

定义3 设函数k(s)∈C[R+,R+],若k(s)是严格递增函数且k(0)=0，则称k(s)属于K类。

定义5 设V∈V0,若

其中,g:R+×R→R在(τk-1,τk]×R上连续,ψk:R+→R+是非减函数,则称系统

(2)

是脉冲系统(1)的比较系统。

引理1[7]设

(1)f(t,0)=0,g(t,0)=0,uk(0)=0。

(2)V:R+×Sρ→R+,ρ>0,V∈V0;

D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),t≠t0,其中,

Sρ={x∈Rn|‖x‖<ρ};

(3) 存在ρ0>0,当x∈Sρ0时,满足:

x+uk(x)∈Sρ0,k=1,2,…,

V(t,x+uk(x))≤ψk(V(t,x)),t=τk,x∈Sρ0。

(4) 存在函数α(·),β(·)∈K,当(t,x)∈R+×Sρ,满足β(x)≤V(t,x)≤α(‖x‖)。

则比较系统(2)的平凡解的稳定性蕴含着脉冲系统(1)的平凡解的稳定性。

2 渐近稳定性条件

考虑具体形式的非线性脉冲系统如下:

(3)

其中,k=1,2,…；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非线性连续函数。

下面给出脉冲系统(3)在平凡解处渐近稳定的充分条件。

定理1 设f(0)=0,φ(0)=0,若

(ii) 存在0<δ<1,使得:

‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖,

(iii)δ2

则脉冲系统(3)在平凡解处是渐近稳定的。

证明 设V(t,x)=xTx,当t≠tk时,

D+V(t,x)=

xTf(x)+f(x)Tx≤

LxTx+LxTx=2LxTx。

因为‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖≤‖x‖,所以当x∈Sρ0时,必有x+φ(x)∈Sρ0。

当t=τk(k=1,2,…)时,有

V(t,x+φ(x))=(x+φ(x))T(x+φ(x))=

‖x+φ(x)‖2≤δ2‖x‖2=

δ2xTx=δ2V(t,x)。

脉冲系统(3)的比较系统为:

存在γ>1, 使得e-2L(τk+1-τk)/δ2≥γ,即

e-2L(τk+1-τk)≥δ2γ,

-2L(τk+1-τk)≥ln(γδ2),

2Lτk+1+ln(γδ2)≤2Lτk,

亦即λ(τk+1)+ln(γdk)≤λ(τk)。

根据引理1和引理2,脉冲系统(3)在平凡解处是渐近稳定的。

在脉冲系统(3)中,若右端函数f(x)中有线性部分,则把f(x)中的一部分或是全部线性部分分离出得到Ax+f(x);若脉冲量φ(x)中有线性部分,把φ(x)中的一部分或是全部线性部分分离出得到Bx+φ(x),则脉冲系统(3)就变为如下非线性脉冲系统形式:

(4)

其中,k=1,2,…；A,B为n阶常数矩阵；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非线性连续函数。

下面给出脉冲系统(4)在平凡解处渐近稳定的充分条件。

定理2 设f(0)=0,φ(0)=0,λ1是A+AT的最大特征值,λ2是BTB的最大特征值。若

(ii) 存在0<ρ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤(1-ρ)‖x‖,

其中ρ=ρ(B)为B的谱半径，

则脉冲系统(4)在平凡解处是渐近稳定的。

证明 设V(t,x)=xTx,当t≠tk时,有

D+V(t,x)=

xT(Ax+f(x))+(Ax+f(x))Tx=

xT(A+AT)x+xTf(x)+f(x)Tx≤

λ1xTx+2LxTx=(λ1+2L)V(t,x)。

因为

‖x+Bx+φ(x)‖=‖Bx+(x+φ(x))‖≤

ρ‖x‖+(1-ρ)‖x‖=‖x‖,

所以当x∈Sρ0时,必有x+Bx+φ(x)∈Sρ0。当t=τk,k=1,2,…时,有

V(t,x+Bx+φ(x))=

(x+Bx+φ(x))T(x+Bx+φ(x))=

[(Bx+(x+φ(x))]T[(Bx+(x+φ(x))]=

xTBTBx+(Bx)T(x+φ(x))+

(x+φ(x))TBx+(x+φ(x))T(x+φ(x))≤

(1-ρ)2xTx≤

因此脉冲系统(4)的比较系统为:

(1-ρ))2]≤(λ1+2L)τk,

亦即

λ(τk+1)+ln(γdk)≤λ(τk)。

由引理1和引理2知,脉冲系统(4)在平凡解处是渐近稳定的。

在定理2中,若f(x)=0,即微分系统为线性,则定理2就是文献[8]中的定理4。因此定理2是文献[8]中定理4的一个推广。

在脉冲系统(3)中,若右端函数f(x)中有线性部分,则把f(x)中的一部分或全部线性部分分离出得到Ax+f(x);若脉冲量φ(x)中的线性部分不做分离,则脉冲系统(3)就变为如下非线性脉冲系统:

(5)

其中,A为n阶常数矩阵；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非线性连续函数。由定理1和定理2的证明过程得到脉冲系统(5)在平凡解处渐近稳定的充分条件:

定理3 设f(0)=0,φ(0)=0,λ1是A+AT的最大特征值,若

(ii) 存在0<δ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤δ‖x‖，

(iii)δ2≤e-(λ1+2L)(τk+1-τk),

则脉冲系统(5)在平凡解处是渐近稳定的。

在定理3中,若f(x)=0,即微分系统为线性,则定理3就是文献[8]中的定理3。因此定理3是文献[8]中定理3的一个推广。

在脉冲系统(3)中,若脉冲量φ(x)中有线性部分,则把φ(x)中的一部分或全部线性部分分离出得到Bx+φ(x);若右端函数f(x)中的线性部分不做分离,则脉冲系统(3)就变为如下非线性脉冲系统:

(6)

其中,k=1,2,…；B为n阶常数矩阵；f(x):Rn→Rn、φ(x):Rn→Rn都是非线性连续函数。同理,可由定理1和定理2的证明过程得到脉冲系统(6)在平凡解处渐近稳定的充分条件。

下面给出脉冲系统(6)在平凡解处渐近稳定的充分条件。

定理4 设f(0)=0,φ(0)=0,λ2是BTB的最大特征值,若

(ii) 存在0<ρ<1,使得：

‖x+φ(x)‖≤(1-ρ)‖x‖,

其中ρ=ρ(B)为B的谱半径，

则脉冲系统(6)在平凡解处是渐近稳定的。

3 数值例子

给出脉冲系统(3)的一个例子,验证定理1。

下面再利用上述例子验证定理2。把f(x)中的全部线性部分分离出来,φ(x)中的一部分线性部分分离出来,从而得:

从而可得L=1,λ1=6.852 1,λ2=0.25,ρ=0.5。取τk+1-τk=0.01满足定理2的3个条件,因此系统是渐近稳定的。脉冲控制后的时间序列图如图2b所示。从图2b可以看出，t=0.1 s时系统在零解处达到稳定。

图1 无脉冲量的时间序列图

(a) 定理1

(b) 定理2

4 结 论

本文研究了右端函数和脉冲量都为非线性函数时脉冲系统(1)渐近稳定性的充分条件。运用引理1、引理2得出稳定性条件,并用Lyapunov函数法给予证明。给出的具体脉冲控制系统(3)～系统(6)是具有固定时刻的非线性脉冲系统;非线性时滞脉冲系统有待研究。本文只建立了单个比较系统和运用Lyapunov第一方法得到系统的稳定性条件;接下来的工作是运用多个比较系统和Lyapunov第二方法得出系统的稳定性条件。

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(责任编辑 朱晓临)

Asymptotic stability condition of nonlinear impulsive systems

NI Yudong1， LIU Wei1， NI Hanqing2， PENG Zhenyu1

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.School of Electric Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

This paper studies the asymptotic stability of the impulsive control system in which the impulsive increments and differential system are in nonlinear form. For the nonlinear differential system with limited norm, by establishing the comparison system of impulsive control system, the asymptotic stability sufficient conditions of the impulsive control system are developed under the control of nonlinear impulsive increments. The effectiveness of the described methods is verified by numerical simulation.

nonlinearity; impulsive control system; asymptotic stability; impulsive increment; comparison system

2015-12-18；

2016-03-14

国家自然科学基金资助项目(71571076)

倪郁东(1963-),男,安徽合肥人,合肥工业大学副教授,硕士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.04.025

O231.2

A

1003-5060(2017)04-0567-05