利用特殊点巧解数形结合题

2017-05-14王进林

新课程·教师 2017年3期

王进林

摘要：在高考中，解决函数、解析几何等问题常用到数形结合思想方法。如何更好地根据代数式子所隐含的信息，发现图象的变化规律是解题的关键。由于条件的限制，图象不会“漂浮不定”，总会经过某些特殊点，抓住这些特殊点进行研究，就可以有效地引导学生找到解题的突破口。

关键词：数形结合；特殊点；定点

数形结合就是要以数解形，以形助数，是高考热点但也是难点。但对于数或形稍微复杂的题目，特别是含参数的题目，学生就一筹莫展，主要原因是不知如何画图、用图，找不到解题的切入点。如何解决这个问题呢？我们先来了解学生的作图习惯，画二次函数图象时，学生会先描出其顶点（或坐标轴上的点）；画指数函数时，也会先描出点（0，1）（1，a），显然，学生对图象的理解，都是从某些特殊点开始的。所以，为了能整体把握图象，我们可以先从图象上的某些特殊点开始研究，这些特殊点作为图象的基本要素，影响着图象的变化，对它们进行重点分析，就容易找到解题的突破口，让思路更清晰、准确。以下我将通过几个例子进行说明：

一、抓住函数图象的特殊点，利于画图，简化分类讨论的过程

例1.设a>0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性。

这是2011年广东省高考文科第19题，是判断函数单调性的高考常规题型，但是全省的平均分才2.94分，足以见学生解答得并不好。该题中如何对a进行分类，分类后又如何结合定义域写出函数的单调区间，对学生而言都有一定难度。因f′（x）=■不妨令函數g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，注意到无论a取何值，函数y=g（x）的图象恒过定点（0，1），且对称轴x=■在y轴右侧。从所过定点（0，1）开始分析，就能找到对a的分类。具体解法如下：

解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）。f′（x）=■

令g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1。

①当a=1时，g（x）=1，f′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）内为单调递增函数；

②当a≠1时，g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1为二次函数，图象过定点（0，1），且对称轴为x=■>0（a>0）

■

（1）当2a（1-a）<0，即a>0时，y=g（x）图象如图1所示，g（x）=0在（0，+∞）只有一正根x1，此时f（x）在（0，x1）单调递增；f（x）在（x1，+∞）单调递减。

（其中x1=■-■）

（2）当2a（1-a）>0且？驻=4（a-1）（3a-1）≤0，即■≤a<1时，y=

g（x）图象，如图2所示，g（x）≥0在定义域内恒成立，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增；

■

（3）当2a（1-a）>0且？驻=4（a-1）（3a-1）>0，即0

■

此时f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）内单调递增；f（x）在（x1，x2）内单调递减；

综上所述：（略）

本解法符合了学生的抓住关键点画图的习惯，并根据现有的对二次函数图象的认知，轻松找到分类讨论的依据，本解法的优点还在于简化了对导函数的零点与定义域间的讨论，使得对参数的分类更明确，思路更为清晰，结果更明显。

但若函数图象所过特殊点不是一个定点，还能不能这样处理呢？请看下题：

例2.已知函数f（x）=x+■+lnx，其中a∈R，求f（x）的单调区间。

本题完全可以借鉴例1的解法，具体解法如下：

解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=■，令g（x）=x2+x-a。

y=g（x）的图象过点（0，-a），对称轴为x=-■，开口向上。

①当-a≥0，即a≤0时，如图4所示，g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）内单调递增；

■

②当-a<0，即a>0时，如图5所示，g（x）=0只有一个正根x1=■且x∈（0，x1），g（x）<0即f′（x）<0；f（x）在（0，x1）内单调递减x∈（x1，+∞），g（x）>0即f′（x）>0；f（x）在（x1，+∞）内单调递增；综上所述：当a≤0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a>0，f（x）的单调减区间为（0，■），单调增区间为（■，+∞）。

■

虽然g（x）=x2+x-a图象所过点（0，-a）中含有参数a，但由定义域的限定，点（0，-a）作为一个端点值，仍然可以以小见大，揭示图象变化的规律，简化分类讨论的情况，降低难度。抓住了特殊点，就可以把图象的“脉”了。

二、抓住圆锥曲线中的特殊点，利于用图，找到解题思路

例3.已知直线y=k（x-2）（k>0）与抛物线y2=8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若FA=2FB，则k的值为 .

分析：如图6，本题中抛物线的焦点为F（2，0），结合直线的方程，不难发现，无论k取何值，直线也必经过点F（2，0），从这焦点的特殊性出发，常规的解题思路就容易形成了：运用抛物线的定义来解题！

■

解：记抛物线的准线为l，过A作AP⊥l交于点P，

过B作BQ⊥l交于点Q，作BM⊥AP交于点M，

则BQ=PM=AM=■AB，所以BM=2■AM，

可得k=tan∠AFx=tan∠MAB=■=2■。

例4.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为■，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12。圆Ck：x2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点Ak。

（1）求橢圆G的方程；（2）求△AkF1F2的面积；（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由。

■

这是2009年广东高考文科19题，易求（1）：椭圆G的方程为：■+■=1，（2）：■=■×F1F2×2=■×6■×2=6■。以下重点分析第三问。

A1，A2，B1，B2是椭圆G的四个顶点，决定着椭圆G的位置，圆Ck的半径为■，圆心是Ak（-k，2），虽然Ak是一个动点，但Ak有其特殊性，即Ak恒在直线y=2上。不妨先判断四顶点与圆Ck的位置关系，根据条件中的数量关系画出图象如图7所示，显然椭圆下顶点B1（0，-3）在圆Ck上，借助图象可以猜想圆Ck不能包围椭圆G。

严格证明如下：

若k≤0时，A1Ak=■>■，说明A1在圆Ck外；

若k>0时，由对称性可知点A2在圆Ck外。

所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.（详解略）

例5.已知抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别是A，B.问：是否存在常数？姿（？姿>0），使得∠PFA=？姿∠PFB恒成立？若存在，求出？姿的值；若不存在，说明理由。

这是一道探索性问题，直接做很复杂，而根据特殊与一般的原理，我们可以在直线上找一个特殊点来探路，猜想一般可能成立的结论，这样做往往可以快速找到解题的突破口。既然要找点就找出特殊点，方便分析研究。具体解法如下：

■

解：假设存在常数？姿，使得∠PFA=？姿∠PFB成立，

如图8取直线l与y轴的交点P，由抛物线的对称性知∠PFA=∠PFB，此时？姿=1。

下面只需证明点P在直线l上运动时，恒有∠PFA=∠PFB成立。

设A（x1，x12）、B（x2，x22），易求得切线PA、PB的方程分别为：

y=2x1x-x12，……①，y=2x2x-x22，……②