圆锥曲线性质在高考解题中的运用

2017-05-14骆弟怀

新课程·中学 2017年3期

骆弟怀

摘要：圆锥曲线是高中数学教学的重要内容，也是高考中必考的重点和难点，教师要在学生熟练掌握圆锥曲线定义和性质的基础上，引导学生将其运用到解题过程中，进而解决数学问题，提高学生的数学应用能力，促进学生思维的发展。就圆锥曲线在高考解题中的应用做简单分析和探讨。

关键词：高中数学；圆锥曲线；性质；运用

近年来，以圆锥曲线的性质为基础来命题的高考题目已经十分常见。因此，让学生熟练掌握圆锥曲线的性质和定义，并能在解题当中进行有效利用是当前数学教师的重要任务，也是圆锥曲线部分的学习对学生提出的重点要求。为了让学生将圆锥曲线的性质灵活运用到解题当中，教师必须引导学生在掌握每一个性质定理的基础上，将圆锥曲线进行拓展和延伸，使学生能够在掌握基本定义和性质的基础上做到举一反三。笔者结合教学中的实践，谈谈圆锥曲线的性质在高考解题中的运用策略。

一、在探求最值问题上的运用

最值问题是数学中常见的题型，它与圆锥曲线相结合来进行命题，主要考查学生对圆锥曲线性质和定义的掌握与运用。这就要求学生在熟练掌握圆锥曲线相关内容的基础上对题目进行深入分析和探究，并运用掌握的圆锥曲线性质和定义找到题目中的隐含条件，利用圆锥曲线的性质将题目进行转化，找到其中的内在联系，从而高效解决数学问题，实现数学教学的目标。

例1.在椭圆■+■=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上的一点，使MP+2MF的值最小，求MP+2MF的最小值。

■

解：如图，作MN垂直于右侧准线于N点，

因为：■=e=■

所以：MN=2MF

MP+2MF=MP+MN

因此，当M、N、P三点一线时MP+MN最小，最小值为3。

反思：利用圆锥曲线的性质和定义将最值问题进行转化，结合平面图形的性质，将数形结合起来，将最值问题直观化、简单化，简化解题思路，提高学生解题效率，并保证其正确率。

二、圆锥曲线在轨迹题型中的运用

轨迹型题目是高考中常见的题目类型，圆锥曲线在轨迹型题目中的运用主要表现在两个方面：（1）根据方程式来判断动点运

动的轨迹。（2）运用圆锥曲线的性质来求解方程式。因此，轨迹型题目主要考查学生对圆锥曲线性质的掌握和运用情况，并灵活运用曲线性质来分析运动轨迹，列出方程式。这是圆锥曲线的基本内容，也是圆锥曲线学习的重点和难点，更是高考考查的重点类型。定义法是利用圆锥曲线求取方程式的重要方法，它能有效将复杂的运动轨迹直观化、简单化，学生可以借助圆锥曲线的定义和性质，快速判断出动点的运动轨迹，进而在已知条件的基础上快速准确地列出表达式，帮助学生快速解出正确答案。

例2.方程x2+（y-2）2=x-y-4对应点P（x，y）的轨迹为 .

A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.两直线

解：将方程变形，可以得出动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离比上它到直线L∶x-y-4=0的距离的比值为2，由曲线的性质定义可知，离心率大于1的只有双曲线。因此，题目中P点的运动轨迹应该是双曲线。

反思：利用圆锥曲线的性质来对题目中的隐含条件进行判

断，可以有效简化题目的解题过程，快速找出正确答案。首先，学生要灵活掌握圆锥曲线的各种性质和定义；其次，利用圆锥曲线的性质来寻求题目中的内在联系。

三、利用圆锥曲线性质解决三角形中的问题

在高考题型中，将圆锥曲线与三角形相结合是高中命题的一个走势，它要求学生根据曲线性质来对已知条件进行判断，建立两者之间的关系，从而直接有效地解决三角形问题。

例3.F1、F2分别为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆长轴的垂线，与椭圆交于P点，如果△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离

心率。

解：设椭圆的长轴长a，短轴长b，焦距为c

若△F1PF2为等腰直角三角形，

则：PF2=F1F2=2c，PF1=2■c