数学习题讲评课的“再思考”

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 程建刚

数学习题讲评课的“再思考”

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 程建刚

众所周知，数学教学离不开解题教学.习题讲评一方面可以有效地提高学生解决问题的能力，另一方面还可以促进学生对已学过的基础知识、相关概念和运算规则的理解，对学生学好数学有着积极的意义.但遗憾的是，有相当数量的教师把获得正确的解题结果、方法作为解题教学的终极目标，好像是“题目解决了，任务就完成了”，而对于解题中出现的一些细节问题缺乏关注与深入的思考.

最近，笔者观摩了一堂二轮复习习题讲评课，上课内容是“导数的应用”，下面是其中一道题目的教学过程简录.

例题：已知函数（fx）=-x3+|x-a|，x∈［0，1］.

（2）求（fx）的最大值.

解：（1）略.

①当a＞1时，f（x）=-x3-x+a，x∈［0，1］，f（x）单调递减，

所以［f（x）］max=f（0）=a.

②当a＜0时，f（x）=-x3+x-a，x∈［0，1］，

③当0≤a≤1时，分两种情况讨论如下：

由于分类讨论过程比较复杂，学生基础薄弱，这道题的讲解耗费了将近一节课.教师先帮助学生了解题意，然后分析方法，再对解题过程进行详细的板演，最后，对解题思想方法进行了的总结，如图1所示.

图1

对于这道题目本身，教师讲解已经做到透彻到位，但对习题讲评课来说似乎还有些美中不足.

一、例题选择要科学合理

例题选择的好坏直接影响习题讲评的有效性.不同的题目具有不同的作用，有的是为了理解和巩固新知识；有的重在揭示某类问题的一般思路和方法；有的重在训练解题技能；有的是为了发展学生创造性思维等.教师在选择习题时要根据教学目的选择恰当的例题.不仅如此，例题的难度还应该贴近学生实际，教师要分析学生的“最近发展区”，然后在学生“最近发展区”内进行例题的选择，例题太难、太简单都不利于习题讲评课的展开.

从本节课来看，一没有变式，二没有拓展，仅仅解了一道题目，虽然其中涉及了比较复杂的分类讨论，但从整堂课来看内容还是过于单薄.受制于学生的认知水平，教师不敢增加题目的容量也在情理之中，但反过来分析，既然学生接受能力不足，这样的题目设计是否有必要？有没有必要设置“三个层次”分类讨论，难度如果降低点，“两个层次”的分类讨论是否已经足够？如果非要研究这类问题，那么在此之前是否应该做好思维铺垫工作，比如，从简单的问题出发，然后通过变式，逐步进入正题，这样远比让学生直接面对巨大的思维障碍好得多.

二、思想方法要一般化

解题不是目的，而是获得数学技能与方法的一种手段.题目中所涉及的思想方法往往具有普遍适用性，因此，远比题目本身更具教育价值.以上述题目为例，其中所表现出的核心思想就是分类讨论思想，而在实际教学中，分类讨论思想往往是学生的“软肋”，分类遗漏、重复更是很多学生“心中永远的痛”.因此，教师要把握机会揭开分类讨论思想的神秘面纱，在本节课的教学环节中，教师可以考虑增加如下内容.

首先，明确分类讨论思想的实质，让学生有足够的心理准备.分类讨论思想是序化思想的一种体现.根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略.

其次，明确分类原则，指导学生正确分类.分类中需要遵循标准统一、分类完整不遗漏、分类过程不重复等原则.分类讨论的关键是确定分类标准，确定分界点.当分类讨论需并列多次讨论时，应找出各次分类的分界点，再确定分类标准；当分类讨论需多层讨论时，应根据题意逐层讨论，或根据各层的分界点重新确定分类标准.

最后，提炼分类讨论思想的解题步骤.一般来说，分类讨论思想应用分三步走，第一步是明确标准，科学分类；第二步是归纳结论，合并同类；第三步是把握整体，优化分类.对这三个步骤的揭示远比“对a分三个层次讨论”的总结更具有指导意义.

上述做法的最大好处在于：在解题的同时避免“就题论题”的局限性，学生可以获得对分类讨论思想的一般化理解，并且有利于解题思路的自然形成.

三、解题方法要进一步优化

在上述解题过程中，一开始虽然进行了四种情况的分类，但在最后结论中被归结为两种情况.这背后是否存在着“隐情”？可惜教师对这一细节并没有给予应有的关注.一般情况下，分类讨论情景由繁到简的突变往往预示着有更好、更快捷的解题方法的存在.这是教师进行优化解题方法，开展一题多解的契机.

图2

解题的过程应是解题方法与思维不断优化的过程，分类讨论确实是重要的思想方法，但在具体操作中，应该尽量做到少讨论或者不讨论，因为分类讨论过于花费时间，如何提高分类讨论的效率是解题中必须要思考的问题.

四、要从解题中获得复习线索

高考数学二轮复习通常是以专题形式进行的.“专题复习”有利于学生提升思维，建构知识网络.在实际操作中，复习“专题”的设计往往存在着内容过于宽泛、缺乏针对性的弊端.因此，正确设计专题，使复习专题更加符合学生的实际需求是保证二轮复习有效性的关键.那么，复习专题如何确定呢？从解题中获得有用的复习线索是一个重要的途径.

以本节课为例，题目中显然涉及“|x-a|”类函数问题.这类问题，形式新颖、综合性强、思维要求高，其中含参绝对值二次函数是近年来高考的热点，解决这类问题不仅要求深刻理解题意，还要求具备较强的逻辑思维能力和推理论证能力.

案例含参绝对值二次函数问题专题复习设计

例1（1）已知函数f（x）=x|x-2|-a有三个零点，求实数a的取值范围；

（2）已知函数f（x）=x|x-a|在［2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围.

例2已知函数f（x）=|x|（x-a）.

（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；

例3设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求函数f（x）的最小值.

意图：三道例题的设计由易到难，层层铺垫，环环相扣，基本上涵盖了含参绝对值二次函数问题的所有类型.通过问题的剖析与解决，学生了解并掌握这类函数图像（叠加）的基本特征与规律.

因此，在讲解上述例题之前最好先对“|x-a|”类函数问题进行系统化的研究，或者在后续的复习中补充这一内容，然后在“|x-a|”类函数问题的认知基础上重新审视上述问题的解题策略.这样一来，上课效率就会得到进一步提升，也不会出现一节课只讲一道题的尴尬.

习题讲评课中的“细节”不仅决定了课堂教学的有效性，更为重要的是，这些细节可以成为知识的生长点，成为教学瓶颈的突破口.