一道高考复习题的多角度思考

2017-05-12江苏省常熟市尚湖高级中学姜震羽

中学数学杂志 2017年9期

关键词：公比换元化简

☉江苏省常熟市尚湖高级中学姜震羽

一道高考复习题的多角度思考

☉江苏省常熟市尚湖高级中学姜震羽

纵观近几年的高考试题，对于同一道题，并不会局限于一种方法，往往可以通过多种方法来解决问题.所以，在高考复习中，也应当对一题多解的问题多下工夫，在复习过程中进行一题多解的训练，可以培养学生的综合能力，在高考中才能从容不迫.

一、题目呈现

题目（2017年盐城高考一模）在△ABC中，a，b，c三条边分别对应A，B，C三个角，且b2=ac=a2-c2+bc.

（2）证明：△ABC是等边三角形.

二、角度选择

对于第（2）问的解决，可以从多角度进行思考，通过题干中所给的条件，可以从a，b，c的关系入手，采用整体换元，从而解决问题；也可以将已知的边的关系转化为角的关系，通过证明三个角相等来解决问题；还可以通过反证法，所谓正难则反，将直接证明无法解决的问题进行转化，采用反向思考的方法进行证明；而采用特殊与一般的思想也能够解决问题，通过取特殊值，巧妙证明结论.

（一）角度一——整体换元

想要证明三角形是等边三角形，可以从三条边的关系入手，利用a，b，c三条边之间的关系，关键在于设置一个未知数，让这个未知数成为联系a，b，c三条边的纽带.采用整体换元，让其他的未知数将三条边联系起来，一旦求出这个未知数，那么问题自然迎刃而解.

1.巧设公比，曲线救国

由于b2=ac，那么a，b，c满足等比数列的条件，可设此等比数列的公比为q，则有q＞0，b=aq，c=aq2，将以上两式代入b2=a2-c2+bc，可以得到a2q2=a2-a2q4+a2q3，化简之后可得只含有q的方程，即1-q4+q3-q2=0，q4-q3+q2-1=q3（q-1）+（q+1）（q-1）=（q-1）（q3+q+1），解得q=1，所以a=b=c，所以三角形的三边相等，所以△ABC是等边三角形.

此解法从式子b2=ac入手，可以发现a，b，c三个数满足等比数列，通过等比数列将问题转化为求公比q的问题，可以说是曲线救国.采用等比数列的性质，巧妙设出公比q，进而将b，c进行换元，接着再采用消元法得到只含有q的方程，得到公比q，问题自然迎刃而解.

2.直接换元，单刀直入

根据b2=ac，可设c=xq，b=x，代入b2=a2-c2+bc，可以得到关于q的方程易得q=1，所以a=b=c，所以三角形的三边相等，所以△ABC是等边三角形.

这种解法单刀直入，与第一种解法可以说是如出一辙，但是本题的解法更为直接，没有多余的套路.通过a，b，c的关系b2=ac，采用了直接换元法，将a，b，c直接用其他未知数表示，进而得出只含有q的方程，解出q之后可以得出a，b，c的相等关系，巧妙地解决了问题.

（二）角度二——由边化角

1.余弦定理切入

由于b2=ac=a2-c2+bc，再根据余弦定理，可以得到ac= b2=a2+c2-2accosB，根据基本不等式，有a2+c2≥2ac，所以有a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，即ac≥2ac-2accosB，化简之后可以得到由于∠B是三角形的一个内角，结合余弦函数的图像可知，由（1）可知∠A=，所以，那么∠B≤∠A≤∠C，由此得到b≤a≤c，又因为b2=ac，要想同时满足以上条件，则必须有a=b=c，所以三角形的三边相等，所以△ABC是等边三角形.

本题的解法是通过对已知条件进行分析，由余弦定理切入，将已知的a，b，c三条边的关系转化为三个内角的关系，再利用不等式的有界性，得到三个内角的关系，从而证明△ABC是等边三角形，让问题得到了解决.

2.基本不等式切入

根据b2=a2-c2+bc，移项之后得a2+bc=b2+c2，根据基本不等式的性质，有b2+c2≥2bc，所以a2≥bc，再根据已知条件b2=ac，有a4≥a2bc，a2c2≥bcc2，化简之后可以得到a4≥abb2，b4≥bc3，即a3≥b3，b3≥c3，由于a，b，c为三角形的三边长，所以a，b，c不可能为负数，所以有a≥b，b≥c，所以a≥b≥c，所以∠A≥∠B≥∠C，由（1）可知，由于三角形的内角和为π，所以只能是，所以三角形的三个内角相等，所以△ABC是等边三角形.

此解首先对已知式子进行移项，然后直接使用基本不等式，得出a，b，c三条边之间的大小关系，然后将边长的大小关系转化为角的关系，再结合（1）中的条件，可以证明△ABC是等边三角形.

（三）角度三——正难则反

对于高中数学中的证明题，有时候直接证明往往有不小的难度，此时不妨采用反证法，将所要证明的结论作为已知条件，然后进行反推，寻找所假设的条件与已知条件之间的矛盾.本题中可以假设，此时三角形就不是等边三角形，以此来寻找与已知条件互相矛盾的地方.

（四）角度四——由特殊到一般

由特殊到一般是高中数学中一种重要的思想方法，采用这种方法既能不失一般性，易于学生理解掌握，又能事半功倍地解决问题.在本题中根据所给的相等关系，可以采用取特殊值的方法进行证明，由一般到特殊，事半功倍地解决问题.

由于b2=a2-c2+bc，b2=ac，可以取特殊值而又不失一般性，设c=1，那么b2=a2-c2+bc可化简为b2=a2-1+b，b2=ac可化简为b2=a，由化简后的两式，消去a之后可得b2=b4+ b-1，即（b-1）（b3+b2+1）=0，解得b=1，那么a=1，所以a=b= c=1，所以三角形的三边相等，所以△ABC是等边三角形.