以反治本策略的实践与思考

☉江苏省泰兴中学 游 洋

以反治本策略的实践与思考

☉江苏省泰兴中学 游 洋

中学数学教师都有这样的教学共识：很多问题教师反复讲、学生反复练，但是以前犯过的错误今天还是继续犯错，在典型的错误问题前面，这种反复显得非常苍白无力.这是为什么呢？作为拥有多年教学经验的教师，我们思考过为什么吗？如何办呢？笔者以为，教师都思考过，但是这些典型的错误学生却总是再犯，说明我们的教学方法亟需改进.

心理学研究表明，要让知识记忆深刻最好的方式是允许犯错，并从错误中获得理解.对于一些普遍犯错的问题，教师教了多年并未改善，是否可以从学生的自身反思中获得提高？因此以反治本的策略恰恰是为了解决那些根深蒂固的错误，也是减少教学中在这些无法提高正确率问题的新的教学策略.

一、以剖析反思的方式以反治本

错误问题继续错误，这是学生数学学习的一个典型现状.教师面对这样的教学现状，采用最多的教学方式是反复讲、反复训练，但是效果呢？教师依旧常常抱怨：一届一届学生，错误总是这么几个，愈来愈不会教了.笔者想问：这难道是学生之过？还是要从教学方式上做出重要的改变.从单遵教授的观点来看，错误之所以重复有两个原因，第一是学生不理解这一知识的内涵，第二是错误是教师告诉他的，他自身未能及时发现和反馈.因此，笔者认为要处理学生典型错误的最有效、最好的方式是以错题为例进行剖析、自我反思、以反治本.

问题1：已知集合A=｛x|x2+x-6=0｝，B=｛ax+1=0｝，满足B⊆A，求实数a能取的一切可能值所组成的集合.

类似训练：当a为何值时，不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集为全体实数？

生：我把原不等式简单地看成一个一元二次不等式，总是把问题想当然.事实上，当二次项系数a2-1=0时，即a=±1时，它不是一元二次不等式，经过检验可知，当a=1

温馨提示：从自我剖析、反思的方式以反治本，有效地触及了学生的内心，从学生认真分析的状态中，我们发现了其反思自身问题解决的不全面性，向其他学生用心阐述了错误的因素.这种类似陶行知先生的“小先生制”大大地激发了学生解决典型错误的有效性，笔者发现历经以反治本的策略，部分学生在问题上的错误大大降低，获得了一定的进步.

二、以同题异构的方式以反治本

很多问题是类似的，但是解决的方法并不是一致的，或者有些问题教师描述的方式方法，学生总是不喜欢用，而是一味地选择自己的方式方法，这样做的后果是学生有时做对了，有时做错了，因为其并未找到问题犯错的本质，导致其后续用的还是老方式、老步骤.笔者认为以同题异构的方式，让多位学生共同展示不同的解决方法，从异构中区分方法的优劣性是以反治本的好途径.

问题2：图1为函数y=Asin（ωx+φ）的图像的一段.

图1

（1）求其解析式；

请学生板演问题解决思路（主要研究第（1）问）.

辨析：请学生思考哪些解法是优秀的？哪些是不合时宜的？以后在已知图像后如何解决y=Asin（ωx+φ）的解析式更为恰当？（学生合作讨论，以讨论的方式获得更多的经验）

生（总结）：我们讨论后一致认为思路1和思路2是正确的，也是非常好的方法.思路3貌似很简单，但是产生了增根，在具体解决问题时还需进一步检验，反而显得累赘了.

师：请你说一说理由是什么？

生：先说思路3错误的原因，因为用到的是函数的平衡点，所以看上去计算量简化了很多，但是却解出了两个不同的φ值.我们验证了一下，发现其中一个恰为图2中的虚线图形，另一个为正解.出现这样的原因正是因为使用了平衡点！平衡点处有两个函数均从这里穿过，这就导致无法确认哪一个才是题意需要的，所以必须检验.思路1比较合理地使用了我们课堂上讲的“五点法”，这首先要求大家必须牢记正弦函数y=sinx的基本形态，要正确看待点M在五点中所处的具体位置，只有弄清了位置才能计算φ值；思路2显得更随意一些，只要找到最值点即可解决唯一的φ值，究其原因是最值点不可能两个函数共同经过，所以很好地解决了问题.

图2

温馨提示：通过同题异构，我们认识到了同学们常常犯的一个错误——用平衡点去计算φ值，这种貌似简单明了的方式却往往容易产生错误，而“五点法”很好地给予了点位置上的确定性，不易错误，最值法较好的固定了函数图像的走势，不易错误，希望大家有所启发.

三、以重视思想的方式以反治本

数学中高端层次的问题往往具备了一定的数学思想指导，在数学思想指导下有些问题的解决显得较为容易，如何去发现问题背后隐藏的数学思想？如何引导这种思想以反治本？这是教师在教学时需要关注的.

问题3：（教材习题）等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n.

温馨提示：本问题的处理看似简单，实际上是数学思想在背后的运用.数列问题都是离散型函数模型的体现，即函数与方程思想是解决的问题的主要导向.笔者首先让学生动手验算本例，在经过数十分钟运算后，学生纷纷表示，字母多、求解方向不清晰，导致学生很盲目.有了前面的困扰，那么以反治本的手段——数学思想找到时机恰到好处的引入，让学生迅速了解了函数与方程思想在数列章节中的重要性，也一语中的阐述了数列本质，获得了问题解决的更多思考.

总之，以反治本是教学的一种手段，其需要给予学生足够的时间探索、允许其犯错，要从学生自身的学习中去获得经验积累，这种手段在学生不断重复的错误问题上有良好的效益，值得教学尝试探索.

1.徐晓红.纠正思维顽疾之利器——以反治本［J］.数学教学研究，2010（2）.

2.吴成海.数学试题创新应着力于思维培养［J］.中学数学，2013（8）.

3.王建鹏.一道试题的析题展示［J］.福建中学数学，2013（9）.F