短区间特征和的一些表达式

王念良

（商洛学院 数学与计算机应用学院/应用数学研究所，陕西商洛 726000）

1 引言与结论

定义1[1]设p是奇素数，n是正整数，(p,n)=1。若同余方程：

有解，则称n是模p的二次剩余；若无解，则称n是模p的二次非剩余。

二次剩余理论是初等数论中非常重要的结论与组成部分。17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余问题作了初步研究，证明了部分定理并作出了一些相关的猜想，高斯是首先对二次剩余进行系统研究的数学家，他在著作《算术研究》中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”的概念[1]。二次剩余不仅可用来判断二次同余式是否有解，而且在实际中有广泛的应用，如从噪音工程学到密码学以及大数分解等[2-5]。

设χ是模q的Diriclet特征，令Gn(χ)=表示关于特征χ的广义高斯和(χ)=表示关于特征χ的高斯和。关于特征 χ的 Dirichlet函数 L(s,χ)定义为[3]：

设 k,α 是非负整数，r是正整数,q=pα，χ是模p的Dirichlet本原特征。关于特征χ的短区间和定义[3-4]为：

定理设k,α 是非负整数，r是正整数,q=pα。当素数p≡1(mod 4)时，勒让德符号

2 结论的证明

为了完成定理的证明，首先叙述一个引理。

引理 1[3]设 k,α,t,u 是非负整数，0＜t≤u，q=pα,χ是模p的Dirichlet本原特征，则

引理1的证明根据文献[3]引理1,取即得，略。

定理的证明由于定理中8个公式的证明过程是类似的，仅对定理中(5)(7)(9)(11)给出详细证明，其余的读者可类似的给出证明过程。

在引理 1中，当p≡1(mod 4)时，注意到pα-1≡1(mod 4)，取，则 t=1,u=4 由(14)(15)式得：

将(13)式右端和式按下标的奇偶性分成两部分，注意到：

由(16)(17)式即有(5)式。类似的，可证明(6)式。

此时，（13）式右端和式仅有偶数下标部分的和，注意到：

这就证明了(7)式，类似的可证明(8)式。

在引理1中，当时p≡3(mod4)，注意到pα≡(-1)α(mod 4)，取 t=1,u=4，则由(14)(15)式得：

将(13)式右端和式按下标的奇偶性分成两部分，注意到：

偶数下标部分的和为：

由(18)(19)式即得(9)式。类似的可证明(10)式。

要证明(11)式，取 t=1,u=2，则由(14)(15)式得：

此时，(13)式右端和式仅有奇数下标部分的和，注意到：

这就证明了(11)式，类似的，可证明(12)式。

参考文献：

[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].2版.高等教育出版社,2001.

[2]李子臣,戴一奇.二次剩余密码体制的安全性分析[J].清华大学学报(自然科学版),2001,41(7)：80-82.

[3]WANG N L，LIJZ， LIU D S.EulerNumber Congruences and Dirichlet L functions[J].J Number Theory,2009,129：1522-1531.

[4]WANG N L，LI H L,LIU G D.CosineE Highter-order Euler number congruences and Dirichlet L-function values[J].Kyushu Journal of Mathematics,2017,71(1)：197-209.

[5]王念良,赵锐.交错级数Euler变换式的一个应用[J].商洛学院学报,2013,27(2)：3-5.