《数学通报》2305问题的证明及推广

张留杰 宋其云

北京市陈经纶中学 (100020)

《数学通报》2305问题的证明及推广

张留杰 宋其云

北京市陈经纶中学 (100020)

2305问题AB是圆锥曲线mx2+ny2=1的斜率等于1的弦，AB的垂直平分线与该圆锥曲线交于点C、D，则A、B、C、D四点共圆．[1]

拜读本刊数学问题解答2305问题之后，引发了笔者深深思考，虽然题目条件中的有心圆锥曲线具有很强的一般性，但是对弦AB和直线CD的条件要求十分特殊，该问题背后是否存在一般规律呢？该结论对抛物线是否成立？带着这些思考开启了下面的探究之旅．

一、问题的证明

该问题所给的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”这一几何特征，取CD的中点F(如图1)，从而确定这四点共圆的充要条件是BF为圆的半径，进而得出等价条件|CD|2-|AB|2=4|EF|2，然后用解析法证明该等式，凸显了解析几何的本质，即用代数的方法解决几何问题．

图1

如果不添加辅助线，设AB与CD的交点为E，直接证明|EA|·|EB|=|EC|·|ED|，能够回避求线段长度的繁琐过程，会显得更加简捷．

证明：设E(x0,y0)，直线AB的方程为y=x+t，则y0=x0+t，因为CD⊥AB，则直线CD的方程为y-y0=-(x-x0)，即y=-x+2x0+t．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

=|EC|·|ED|，所以A、B、C、D四点共圆．

二、问题的推广

根据上述证明过程，笔者发现“点E是AB中点”这一条件可以省去，然后根据有心圆锥曲线的对称性，可以得出如下结论：

结论1AB是圆锥曲线mx2+ny2=1的斜率为k的弦，若|k|=1，垂直于直线AB的直线l与圆锥曲线交于点C、D，则A、B、C、D四点共圆．

波利亚在《怎样解题》中指出“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思．”再次回顾该问题，总感觉还有更一般性的规律，究竟由哪个条件进行引申推广呢？经过一番思考，决定从AB和CD的斜率或倾斜角进行探究．

命题1 若A、B、C、D为有心圆锥曲线mx2+ny2=1(m≠n)上四个不同的点，且直线AB与直线CD相交于点E，α、β分别为直线AB、CD的倾斜角，试探究当A、B、C、D四点共圆时，α与β的关系．

结论2 若A、B、C、D为有心圆锥曲线mx2+ny2=1(m≠n)上四个不同的点，且直线AB与直线CD相交于点E，则A、B、C、D四点共圆的充要条件是直线AB与CD的倾斜角互补．

类似地，也很容易将该结论推广到抛物线中．

所以根据2305问题我们可以得出圆锥曲线上四点共圆的一个重要定理，凸显了该问题背后深刻的内涵和其使用价值．

定理A、B、C、D为圆锥曲线W上四个不同的点，且直线AB与直线CD相交于点E，则A、B、C、D四点共圆的充要条件是直线AB与CD的倾斜角互补．

[1]张国坤.数学问题解答2305题[J].数学通报,2016.6.