再议“容器的体积包含容积”

杜海良

2015年10月26日，全国第十二届小学数学教学改革观摩交流会上，浙江省王丽兵老师执教的《体积与容积》一课，深受专家和听课老师的好评。王老师在讲教学体积与容积的关系时，拿出了几个纸箱，让学生在想象与观察中，感受在外“套”纸箱时纸箱的容积不变，但体积变大，在内“嵌”纸箱时，体积不变，容积却变小。这一活动，紧扣体积与容积概念的本质，巧妙地帮助学生辨析了体积与容积的不同：容积是要看里面的，体积是看外面的。

对于体积包不包括容积的问题，其实是一个“旧”问题，曾引起数学老师、专家的热烈讨论，观点可能不尽相同，但大家实事求是，勇于发表自己的意见，使讨论逐步深入。为方便继续讨论这一问题，先转述如下。

【观点一】体积不包括容积

《小学数学（数学版）》期刊2008年第7、8合刊上发表了叶玲、王永老师的《让自读成为课堂教学的基础——“体积与容积”单元起始课探究》一文，文中提出了“一个杯子的体积包含它的容积吗”的问题。

当叶老师问“这个杯子的体积和容积一样吗”时，学生的答案是“杯子的体积比它的容积大”。因为他们的解释是“杯子的体积比容积多了一层——杯子的厚度”，“杯子的体积是从外面量的，而它的容积是从里面量”。学生这样推理：杯子的体积包含它的容积，所以杯子的体积比它的容积大。这个错误是把容器的容积当作容器的体积的一部分。

【我们的思考】

文中，对于学生的解释“杯子的体积包含它的容积”，叶老师持否定意见，并指出了怎样才能让学生明白杯子的体积大小与它的容积大小之间没有因果关系的方法，利用“排水法”让学生理解杯子的体积相当于排掉的水的体积，也就是认为杯子的体积只是制作杯子所用材质（玻璃）的体积，不包括能装水的容积部分。

王永、叶玲老师所持观点应该说是有道理的，特别是用“排水法”来向学生解释，很令人信服。但这一观点与学生原有认识不同，与教材对体积的定义也不完全符合。根据定义，杯子的体积是杯子所占空间的大小，这一个空间是不是真的就像王永、叶玲老师认为的那样绝对不包含中空部分，只是杯子材质所占的空间呢？还值得商榷。

【观点二】体积包不包括容积要分有盖与无盖

果然，张奠宙教授在看到王永、叶玲老师一文后，也加入了讨论，发表了《从体积的定义说起》一文。

容积是特殊的体积，叶文已经做了详细分析。文中谈到杯子的体积时，要区分有盖、无盖的情形。有盖的茶杯，包含中空部分，所以它的体积比它的容积大。无盖的茶杯的體积就只是它的实体部分，不含中空部分，所以一般来说，其体积比容积小。这次探究课，学生就把茶杯一律当作有盖的情形在考虑了。

【我们的思考】

张教授提出，杯子的体积是否包括容积，要分有盖与无盖的情形。如果有盖，就包括中空部分（容积）；如果无盖，就不含中空部分（容积）。这一观点，与现场老师对王丽兵老师提出的意见一致，纸箱若是封闭的，它的体积才包括容积；若不封闭，纸箱的体积包不包括容积，还需要斟酌。区分有盖、无盖，比简单绝对地判定杯子的体积不包括容积，更容易让人信服。但一个严谨的数学概念，用有盖还是无盖来界定，总觉得也不太妥当。而且，根据物理上“密度”的知识：体积=质量÷密度，这时的体积大小其实与封闭与否无关，因为里面的中空部分没有质量，这时的体积也就没有计人中空部分的体积（容积）。对于这个问题的讨论，似乎还是没有能让所有人都一致信服的答案。

【观点三】物体体积=物体容积+物质体积

有趣的问题、热烈的讨论、悬而未决的矛盾，引起了江苏省海安县教研室仲海峰老师的探究兴趣。仲老师在《小学数学教师》上发表了《“跳出”数学“看”数学》一文，也加入了讨论，他把讨论的问题改编成了一道数学题：

如下图，A是一个长方体，体积是10立方厘米。从1到4都是从与A完全相同的长方体中挖掉8立方厘米的一部分后剩下的物体的形状。想一想，从1到4这四个物体的体积分别是多少立方厘米？

仲老师就这一问题对一些数学老师做了调查。第一遍从前往后提问，老师从开始坚定地认为1号、2号都是2立方厘米，到不太确定地认为3号也是2立方厘米，最后先说4号是2立方厘米，再改口是10立方厘米。第二遍从后往前提问：4号是10立方厘米，再看3号呢？这时老师又认为3号更像是10立方厘米了，甚至这时再看2号与1号，似乎也既像2立方厘米又像10立方厘米了。

经过深度的追问、理性的剖析，仲老师最后提出了这样的观点：

研究任何物体的空间大小时都可以从物体体积、物体容积、物质体积三个方面进行考量。这三种量相互关联，它们之间的关系是：物体体积=物体容积+物质体积。当物体是实心的时候，物体容积为0，物体体积=物质体积。

【我们的思考】

同样的问题，解题的顺序似乎影响了老师的判断，老师似乎被绕晕了。比如2号与3号，都是挖去了8立方厘米，可开始老师认为2号是2立方厘米，3号却是10立方厘米，体积的大小变成了由表面开口的大小决定。再比如3号与4号，3号有了个小孔，4号是全封闭的，又有老师认为3号是2立方厘米，4号却是10立方厘米，一个小孔又决定了答案的截然不同。数学在这里似乎不再是严谨的，而变得模棱两可了，更是一些非数学本质的因素决定了数学概念的判断，还真有“一个馒头引发的血案”的感觉。应该说，仲老师提出的“物体体积=物体容积+物质体积”的关系式，用文中编后语来说，某种程度上是可以较好地“自圆其说”，但我们并不倡导在教学中再引入“物质体积”这样的新词汇，因为这涉及物理学中的“质量”概念，而“质量”又是一个很难解释的“元概念”。