常数变易法的教学思考

【摘要】 常数变易法是求解常微分方程比较重要的一种。本文通过求解一阶线性非齐次微分方程的例子对常数变易法进行探讨，进而揭示常数变易法的实质。

【关键词】常数变易法 微分方程

Variation of constants method on the teaching

Zhou Shouming

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

【Abstract】Constant variation method is one of the more important methods to solve the differential equation.We study constant variation method through solving inhomogeneous linear differential equations，and then revealing the essence of this method.

【Keywords】Variation of constants method； ODE

【基金项目】国家自然科学基金（No.11301573）。

【中图分类号】O175.1-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）08-0016-01

十八、九世纪数学家采用各种特殊的技巧求解不同的方程，不断探索而产生的解常微分方程的数学理论。常数变易法是由伯努利首先提出，欧拉和拉格朗日推广并沿用至今的解微分方程的特殊的技巧。常数变易法是将对应齐次方程的通解中的常数变易为一个待定函数，代入原非齐次ODE求出待定函数，进而得到非齐次方程的通解。实质上是一种变量变换的思想。在许多教材中对常数变易法根本就没有相关的说明或论述，只是强调了如何套用其结果去计算。这使得学生在学习求解微分方程时感到十分困惑，特别是方法中把任意常数c变易成待定函数c（x）从而求得非齐次线性微分方程的通解，这更让学生感觉疑惑，学生会感觉利用常数变易法求出的非齐次线性微分方程的通解公式不是很严谨，怀疑方程的通解是否唯一等等，因此，对常数变易法的教学就显得尤为重要。下面通过例题就有关常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程的通解进行探讨[1，2]。

一、常数变易法步骤

利用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程的步骤：

（1）求对应的齐次微分方程的通解；

（2）将常数c变易成待定函数c（x）得到原方程的解；

（3）代入原方程得到；

（4）通过积分求得；

（5）得到原方程通解。

二、应用举例

例 求方程的通解。

解法一 易解得原方程所对应的齐次方程

， （1）

的通解为（c为任意常数）， （2）

将（2）中任意常数c换成待定函数c（x），则

， （3）

对（3）两边求导后代入原方程化简得，（4）

对（4）两边积分得， （5）

将（5）代入（3）得原方程得通解为.

解法二 直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式得

亦即.

由于一階常微分方程的通解中只有一个任意常数，为了求原方程通解还需将上式代入原方程。代入原方程左边得：当且仅当时，方程两才边相等，而这里c2与c3都是任意值，所以每次c2与c3的选取必须要保证的c2c3=1。

从解法1和解法2可以看到所求得一阶线性非齐次微分方程的通解虽然形式不一样，但最后结果是一致的。

三、教学总结

直接利用通解公式时要令所有积分常数为0，所得解才是原方程的通解。通解公式记忆起来比较复杂，对初学者可用1中的步骤来求解。常数变易法的实质是想借形象直观的方法来简化解一阶线性非齐次微分方程的繁琐步骤，其思想是化繁为简，退一步解决一个与原问题对应的齐次ODE，然后将所得解进行常数变异设为原问题的解，再根据题中条件求出待定函数。其中最重要的是领会常数变易法的思想，拓宽解决问题的思路。事实上，常数变易法在求解非齐次线性常微分方程中的作用还绝不仅仅局限于此，它在求解高阶非线性常微分方程方面还有很大的研究价值[3，4]。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3]张青山，李凤清.用常数变易法求一类递推数列的通项公式[J]，四川师范教育学院学报，2009-11-09（9）：3-6.

[4]汪维刚.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考[J].安庆师范学院学报，2012-06-18（2）：4-5.

作者简介：

周寿明（1983-），男，湖北黄冈人，博士研究生，主要从事偏微分方程的研究。