以趣促学正弦定理

远丽晓

新课程理念指出：兴趣是最好的老师。我认为数学兴趣是推动学生积极学习数学的一种巨大动力。有了学习数学的兴趣，学生在学习中就能产生很大的积极性，从而产生强烈的学习需求，最终体验到学习的乐趣。在新课标高中数学必修五第一章的正弦定理的学习中，先提出现实问题来引起学生的学习兴趣，进而引入课堂知识。

一、情景假设，引入课题

在河岸一边有一棵树，在河岸另一边也有一棵树，给予量角及皮尺，考虑如何在不过河的情况下测得两棵树之间的距离？那么在这个问题中可以构造三角形来求解。

三角形是最简单的平面图形，同学们从初中就开始研究三角形，会求面积，周长，证明三角形全等及相似，知道三角形的分类以及直角三角形满足勾股定理。在必修四中利用直角三角形学习了锐角三角函数。小小图形中隐藏了无限的宝藏，这节课我们继续踏上刺激的寻宝之旅，去寻找一般三角形中边、角关系的准确量化关系——正弦定理。

二、温故知新，提出猜想

如图，在[Rt?ABC]中，角C为直角，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

由锐角三角函数的定义，可以写出[sinA=ac]，[sinB=bc]，[sinC=cc=1。]各个式子中都含有相同边c，那么可以把式子拓展为[asinA=bsinB=csinC。]

这是我们要寻的宝藏吗？此式仅仅适用于直角三角形，还是适用于所有三角形？可见寻宝之旅才刚拉开帷幕。

三、抽丝剥茧，水落石出

如图，当[ΔABC]为锐角三角形时，我们可以通过作三角形的高来

构造直角三角形，作AC边高BD，在[RtΔBCD]中，[BD=asinC]，在[RtΔABD]中，[BD=csinA]，于是有[asinC=csinA]，写成比例式为[asinA=csinC。]同理，作BC边的高，可以得到[bsinB=csinC。]由此可得，在锐角三角形中，总有[asinA=bsinB=csinC。]

在此，我们运用转化的思想，将锐角三角形中的问题，转化到直角三角形中去解决。所以，当[ΔABC]为钝角三角形时，我们也可以通过作三角形的高來构造直角三角形，进而得到在钝角三角形中[asinA=bsinB=csinC]也成立。

在教与学的关系上，古人强调教必有趣，以趣促学，而现代教学理念更加强调培养学生的学习兴趣来提高学习的自觉性。那么有了正弦定理，课堂开始的问题也就迎仞解决，在河岸边随便选取一点，使其与两棵树构成三角形，用皮尺量出此点与同一侧树之间的距离，再用量角器量出同侧两个角，利用正弦定理来求出两棵树之间的距离即可。

对于正弦定理的推导，方法并不唯一。三角形中蕴藏的宝藏远远超出我们的想象。利用几何法进行推导，需要引入三角形外接圆及其半径，从而证明[asinA=bsinB=csinC=2R。]

如图，当[ΔABC]为锐角时，角A，B，C对边分别为a，b，c。通过作AB边高CH，可以得到[asinA=bsinB]，作三角形另外两条高，可以得到式子[asinA=bsinB=csinC]成立。此时，作三角形外接圆，过B作圆直径BD，即[BD=2R。]在圆中，根据等弧对等角，[∠ACB=∠ADB]，在[Rt?BAD]中，[BD=ABsin∠ABD=csin∠ACB]，整理即为[csinC=BD=2R]，同理，过A作直径可以证得[bsinB=2R]，过C作直径可以证得[csinC=2R。]所以，在锐角三角形中总有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

对于直角三角形，作三角形外接圆，直径就是三角形斜边，很容易得到[asinA=bsinB=csinC=2R。]成立

如图，在钝角三角形ABC中，过A作外接圆直径AD，则[∠ADC=180°-∠ABC]，在[Rt?ACD]中，[2R=AD=ACsin∠ADC=bsin（180°-∠ABC）=bsin∠ABC]，即[bsinB=2R]，同理也可以证得[asinA=2R]，[csinC=2R。]所以在钝角三角形中[asinA=bsinB=csinC=2R]也成立。

综上可见，在一般三角形中，总有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

四、巩固训练，深化提高

我们把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。由正弦定理和三角形内角和定理，我们可以解决两种解三角形的问题：

1.已知任意两角及一边；

2.已知任意两边及其中一边对角。

例1：在[?ABC]中，已知[A=45°]，[B=60°]，[c=4]，解这个三角形。

解：由三角形内角和定理得

[C=180°-A+B=180°-45°+60°=75°]

由正弦定理[asinA=bsinB=csinC]得

[a=csinAsinC=4sin45°sin75°=4sin45°sin30°+45°=4*2212*22+32*22=43-4]

[b=csinBsinC=4sin60°sin75°=4sin60°sin30°+45°=4*3212*22+32*22=62-26]

例2：在[?ABC]中，[a=3]，[b=6]，[A=23π]求B。

解：由正弦定理[asinA=bsinB]，得

[3sin23π=6sinB]，得[sinB=22]

因为[a>b]，所以[B=π4。]

兴趣是人们活动强有力的动机之一，它能调动起人的生命力，使大家对于自己热衷的事情乐此不疲。将正弦定理的学习过程视为寻宝的旅途，最终得到钻石级别的宝藏——正弦定理，原来任意三角形的各边和它们所对角的正弦值的比是相等的，而且这个宝藏还能帮助我们解三角形。