抽象、具象的联结、跨越——几何直观运用策略例谈

邵志刚

几何直观既有形象思维的特性，又有理性思维的特征。在小学数学教学中，要使抽象的数学知识更容易理解，增强课堂教学实效，使学生充分理解数学本质，就要善用、巧用几何直观，把一个比较复杂、比较抽象的对象，用直观的办法、用图形的办法，刻画出来。

一、借助几何直观，为形成概念提供生动表征

概念具有较强的抽象性，不容易唤醒学生的视觉映象。在引入概念和概念学习过程中，根据小学生的年龄特征和已有知识经验，安排画图、操作、观察等活动，促进学生对概念的主动认知，以直观的图形和相关的表象，支撑学生对抽象概念的理解，引导学生将抽象的符号、言语转化成表象表征、数形结合，形成科学合理的概念系统。

【案例】：认识一位小数

师：0.1表示什么？

师：（出示一张正方形纸）如果这张纸的大小用数“1”来表示，那么如何表示0.1的大小？你估计是多大？谁来比划一下？

（学生比划）

师：0.1到底有多大呢？这样吧，请你在纸上分一分、涂一涂。

（学生活动）

（展示交流）

（出示第一幅作品）

师：0.1表示的是这么大小的一块吗？生：表示得不对，画成了。

（该学生出示第三幅自己的作品）

师：你认为他表示得对不对？你们是怎么看的？

生：这样表示0.1的大小是对的，把这张纸平均分成10份，1份就是0.1。

师：（多媒体演示把一张纸平均分成10份，涂出1份的过程）谁再说说0.1表示的意义？

生：0.1表示把一张正方形纸平均分成10份，涂其中的1份。

师：只能用正方形纸分吗？

生：还可以把一张长方形纸平均分成10份，涂其中1份。

生：还可以把一样东西平均分成10份，取其中1份。

教学片断中，教师在学生初步认识一位小数含义的基础上，让学生在表示整数“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，让学生将小数的意义通过直观的图形表现出来，引导学生将数变成形，再用语言描述所画图的含义，使学生头脑中关于0.1的表象得以视觉化，培养学生借助图形描述数学概念的能力，增强学生的数感，有助于积累应用几何直观描述数学概念的能力。学生收获得不仅是一位小数的本质含义，更是对一位小数的直观性认识、整体性把握。

二、借助几何直观，为理清算理提供具象素材

借助“几何直观”形象地描述和分析计算的本质 (即算理),将枯燥、机械的计算活动变成生动活泼的数学思维活动,变机械化的反复练习为自主探索本质算理的思维活动,使我们的课堂充满活力。

【案例】：分数乘分数

师：想一想怎样列式？

黑鹰山铁矿床位于甘肃酒泉市正北280km处，属内蒙古额济纳旗管辖，为中国西北地区最重要的富铁矿床之一。该矿床是原祁连山地质队于20世纪50年代末进行区域地质调查时发现露头，后经钻探和坑探查明的一处中型富铁矿床[1]。关于该矿床的成因，目前主要存在以下几种认识：与中酸性火山岩有关的典型浅成矿浆铁矿床[2]，火山气液充填交代型铁矿床[3]；属火山-矿浆和火山-热泉双重成因 [4-5]。

师：为什么这样列式？你是怎样想的？

生：可以用图来画一画、分一分。

师：这是个好主意。大家试一试，看看能不能得出结果。

学生画图，展示：

师：观察算式和结果，想一想：分数乘分数可以怎样计算呢？

生：2×2=4，3×5=15。

生：用分子相乘的结果作积的分子，分母相乘的结果作积的分母。

分数乘分数的算理，通过理性讲解、推理，学生理解起来有很大的难度。如果借助图形表征，让学生画一画、分一分、涂一涂，学生很容易得到令人信服的结果，并由此发现分数乘分数的计算方法。再如《20以内进位加法》，通过学生用小棒、圆片等实物操作来直观感知“凑十”的过程和方法，进而理解进位加法的算理；《分数的简单计算》，可以用图形直观来表征、理解算理……

三、借助几何直观，为解决问题拓展思路

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”小学生学习数学，解题的灵感很多时候来自于几何直观，只有把抽象的数学问题转化为可借用的几何直观问题，学生才有可能展开想象和创造性的数学探究活动。正确理解了几何直观的本质意义，把握了几何直观的实质，学生在问题解决时就能灵活运用，从而帮助学生更好地分析问题、思考问题、解决问题、创生问题，激发他们想象与创造，提升解决问题的水平，弘扬数学理性精神。

【案例】：苏教版五年级下册《解决问题的策略》

师：这道题的加数有规律吗？什么规律？你会计算吗？

生：通分后再计算。

师：可以，把异分母分数转化成同分母分数再相加。如果继续这样写下去，加到第20个、30个数呢？还用通分的方法会怎样呢？

生：会特别麻烦。

师：对呀！有没有其他更好的转化方法呢？

师：（出示下图）观察图形，把正方形看作“1”，你有没有什么启发？

生：这个算式的结果就是涂色部分的面积。

生：涂色部分的面积可以用1减去空白部分的面积。

本教学片断中，由于有了直观图形的启发以及通过数形结合表达出的图意，学生更容易理解：图中的正方形表示数1，要求的和就是正方形里涂色部分的大小，算式转化正是根据“涂色部分的大小等于1减去空白部分的差”进行的。如果没有直观图形，学生很难体会这道题还可以这样转化。可见，几何直观在提示解题思路、激发学生创新意识等方面，作用巨大。

抽象的数学，借助几何直观，可以简洁形象地表达出来，在抽象与具象之间架构起桥梁。在数学教学中，借助合适的图形、直观的模型，更有利于揭示数学对象的本质和联系，使学生的思维活动容易转向更高级、更抽象的境界。对学生几何直观能力的培养是一个过程，需要教师在教学中长期关注，有意识地渗透。