不困于“形” 着力于“理”——《除数是一位数的除法》典型错例分析与教学对策探究

万林峰

在整数加、减、乘、除四种笔算方式中，最让学生纠结的非笔算除法莫数了。笔算除法是四种运算方式里的“集大成者”，在运算过程中除了除法，还涉及到加法、减法和乘法。

人教版三年级下册的《除数是一位数的除法》是学生笔算除法的起点。那么，学生在开始学习多位数笔算除法时的难点在哪里？错误的原因是什么？教学中如何“对症下药”？下面笔者拟通过对学生在学习过程中出现的典型性错误进行分析与思考，探索一些课堂教学策略的改进方式，供一线教师参考。

一、典型错例研读

1.错误类型。

笔者根据学生笔算除法时出现错误的点，把典型错例分成了以下四大类：

A.积的问题（如A1、A2所示）

B.商的问题（如B1、B2所示）

C.余数的问题（如 C1、C2、C3所示）

D.综合型（如 D1、D2所示）

2.错因解读。

笔者发现，学生在笔算除法竖式中出现的典型性错误大部分都是两位数除一位数的笔算除法。具体地说：

A1的结果是正确的，但是由于学生不明白除法竖式中每一步的意义和作用，导致了只有形式、没有任何意义的竖式的产生；A2则是错在用商除以除数，再将得出的商错写在了积的位置上。

B1的错误是因学生搞不清楚除法竖式中各个数的位置，而把商写在了积的位置上；B2的错误是先算个位，原因是学生受到以前做“加、减、乘”的运算顺序从个位算起的负迁移太严重，一时改正不过来。

C1是忘了把十位上的“1”移下来，原因是受到商的十位为“0”的干扰；C2没有把“0”移下来，而是将个位的“5”移到了十位，说明学生对除法竖式中各个数的位置不够敏感。C3的计算结果虽正确，但是在移的过程中把“1”写成了“0”，说明学生计算时结果与过程是“两条路线”的。

D1除了有类型A的错误，还错在用被除数的个位乘除数，其原因为计算方式综合后引起了学生的思维混乱。D2综合了类型A、C的错误。

综上所述，学生在学习笔算除法初期往往被繁杂的“形”所困，纠结每一步用“加、减、乘、除”哪一个，纠结每次的结果写在哪里。究其原因，笔者认为是教师在教学过程中没有把教学重点定位于对笔算除法每一步计算的“理”的探究。因此，我们的教学改进策略就要着力于让学生明白计算过程中每一步的“理”。

二、教学对策探究

1.控进度，留空间。

笔算除法是四种笔算方式中的“集大成者”，涉及的知识涵盖了三年级学生在笔算方面所学的所有知识。如果学生在某个知识中存在问题，那么这些问题在笔算除法的学习中就会被无限放大，从而遇到困难。因此，为保证所有的学生都能跟上学习进度，建议教师适度放慢新授课的脚步。正所谓：徐行之，尚开也；速进，则阖！

控进度，不仅要控制整个单元的进度，还要把握每次新授课教学的节奏，教师既不能以为学生对某些知识理解起来不难而“赶路”，也不能怕缺少练习时间而加快新授的脚步，要尽力做到让每位学生在“明理”的基础上去“研法”，而不是让学生一味模仿例题去摆竖式。

在人教版教学光盘里，把《笔算除法》中“被除数是两位数”的例1“首位能除尽”和例2“首位不能除尽”编排成了一课时，又把“被除数是三位数”的例3“首位能除尽”和“首位不能除尽，验算”也编排成了一课时。笔者在具体的教学过程中发现，《除数是一位数的除法》的起始课，如果在课堂教学中让每个学生充分说理，弄清楚除法竖式中每个步骤的意义和作用，一个例题的教学就要花费将近一课时。因此，建议教师不能只跟着配套课件的脚步“赶路”，而是要依照实际情况，照顾每一位学生，一个例题一个例题地教，扎扎实实地前进。

2.探本质，明算理。

“两位数除一位数的笔算除法”是多位数笔算除法的起始课，教师切不可在这么重要的课中以学生会模仿例题摆竖式为教学目标。应先让学生根据题意分小棒，再结合课件边演示小棒分法，边让学生理解每一步表示的意义和作用。笔者在改进后的教学过程中是这样操作的：

（准备两堆小棒，都是42根，一堆是没捆好的，一堆是10根一捆捆好的）

师：这里有两堆各42根的小棒，如果要把这两堆小棒都平均分成2份，你会选择哪一堆？为什么？

生：我选择捆好的那一堆，因为分起来简单。

师：为什么这一堆分起来简单？

生：因为它只要分成2捆2捆就好了，而另一堆要一根根数，很麻烦。

师：这捆好的4捆小棒相当于哪一位上的数？

生：捆好的4捆小棒相当于十位上的“4”。

师：还有2根小棒呢？

生：相当于个位上的“2”。

（通过判断哪堆小棒更易分，让学生明白随意地分不如先把小棒10根一捆地捆好再分，询问学生小棒与数位的关系，其目的也是让学生数形结合，以便更加生动、形象地理解笔算时每一步的意义）

师：刚才同学们通过动手分一分，把42根小棒平均分成了2份，每份是21根，又通过口算得出结果也是21。那么，如何用笔算的方式解决这个问题呢？请看大屏幕！（课件演示：边结合小棒的分法，边介绍笔算的方法)

师：（课件演示完毕）看明白了吗？

生：明白了！

师：那考考你们，商的十位上为什么写“2”？

生：因为4除以2商是2。

师：这个“2”表示“2 个几”？

生：这个“2”表示“2 个十”！

师：为什么是“2 个十”，不是“2 个一”？

生：因为它在十位上，所以表示“2个十”！

师：那为什么要把这个“2”写在十位上？

生：因为它是十位上的4除以2得到的商。

师：（追问）为什么十位上的4除以2得到的商要写在十位上啊？

生：因为十位上的4表示4个十，4个十除以2结果是2个十，2个十的2当然要写在十位上！（掌声）

师：也就是说，这个“2”表示“40里有 2个20”，对吗？

生：是的。

师：那为什么会有上下两个“4”？下面的那个“4”表示什么？是哪里来的？

生：下面的“4”是 2 乘 2 等于 4 的“4”。

师：你能指着大屏幕说一说是指哪4捆小棒吗？（一学生上台指着大屏幕中间被分成两份的4捆小棒，其他学生鼓掌表示同意）

师：不错，这个4就是“分掉4个十”。

师：那最下面的两个“2”表示的是同样的意思吗？它们又都是怎么来的？

生：上面的“2”是移下来的，表示还剩下2根小棒。

师：也就是说表示还剩“2个一”。

生：下面的“2”是1乘2等于2，是个积。

师：这个积和刚才那个积有什么相同点吗？（指着下面的“4”）

生：都表示分掉的小棒！（掌声）

师：那这个“0”表示什么？

生：表示2减2等于0。

师：（追问）那2减2等于0又表示什么呢？

生：表示没有剩下，全部分完了！（掌声）

师：是不是每次分东西都能分完？

生：不是，有时候会有多余的。

师：也就是说有时候这里是“0”，有时候……

生：是其他数。

为了让学生在第一次接触笔算除法时就牢固掌握笔算除法每一步的含义和作用，笔者通过同桌互相提问的方式让学生进行巩固。

由于学生对“两位数除一位数的口算”比较熟悉，在笔算时容易出现先口算写出答案，再模仿例题写竖式的问题，且不利于之后“三位数除一位数的笔算除法”的学习。所以在这节课的教学中，教师切不能以结果正确为目标，一定要让学生明白每一步的意义和作用。

3.用实例，析错例。

教材在每次练习时总会编排一些错例让学生辨析并订正。但由于一方面教材每次的呈现形式如出一辙、过于单调乏味，另一方面，错例原因无非是商欠大、余数没写、商漏写等常碰到的情况，所以学生对这样的“课例”并不感冒，在寻找错误的时候兴致也不高。

笔者利用手机，在学生进行计算时即刻抓拍出现的典型错例，并利用实物投影仪，当堂呈现学生的错误。这样教学，一方面避免了出错同学被点名后的尴尬，另一方面，学生因想知道“败笔”的来源也提高了对纠错的兴趣。

在此基础上，笔者将学生的典型错例集中处理后设计了一堂错例辨析课，虽然有时手机拍摄的效果并不好，甚至有些图片上的字歪歪扭扭、不够工整，不过，这样的图片反而激发了学生的观察兴趣，使学生感到非常亲切。

4.明顺序，清算法。

笔算除法看似繁杂，其实是非常有规律和节奏感的。因此，我们有必要和学生一起对笔算除法的算法和顺序进行小结。

教材在小结算法时是这样的呈现的：

小组讨论：怎样计算除数是一位数的除法？

教材里的小结虽然分成了3小点，但加上答案有七、八十字，而且由于句式繁杂、绕口，让理解能力稍弱的学生把这三点理解透彻并记住实在不是一件容易的事情。因此，教师有必要对笔算除法的计算顺序进行一下补充性小结，如下图所示：

上图指明了笔算除法的一般顺序（先除，写好商；接着乘，写好积；再减，写好差；最后移下来；如果前面有余数就和余数加起来再重复刚才的步骤）。当然，此图只是对前面一段文字的简化与补充，并不能代替，但肯定可以让学生做起笔算除法来更有节奏感和韵律感。

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）