Matlab在微分方程中的应用

摘 要：Matlab是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。利用Matlab强大的图形处理功能，可以绘制函数图形，用于数据可视化，并利用豐富的数学运算函数来求解各种类型的微分方程，展示了Matlab工具在微分方程计算中的优越性。本文首先介绍了Matlab在简单一阶常微分方程中的应用，其次介绍了在含指数微分方程中的应用，之后介绍了其在解决微分方程数值解问题中的应用，并简单介绍了Rumge-Kutta法，梯形法则，同时运用了Matlab出色的绘图功能，将所求解问题可视化，清晰直观。

关键词：Matlab 微分方程 Runge-Kutta法

MatLab软件在作图和数值计算上有其它软件无法比拟的优势，例如，闫金亮[1]的文献介绍了Matlab在求解常微方程、利用Matlab来描绘常微分方程解曲线及方向场、利用Matlab描绘常微分方程奇解的几何意义等的软件用途，王亚男[2]的文献介绍了通过Matlab软件的辅助，设计程序，用欧拉公式计算微方程的近似解与解析解，用二阶-库塔公式计算微分方程的近似解与解析解。本文从实际出发，介绍了利用Matlab解决求微分方程的问题。

一、Matlab在简单一阶微分方程中的应用

Matlab能够解决简单的一阶线性微分方程的问题。其解决的原理并不复杂。在确定了自变量与因变量后，只需将一阶导变量与常变量分离，对等号两边的代数式同时积分，即可得出方程的解。

例1.：y=2x^2+x

解：设计程序如下：

syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x^2+x，x）

diff（（y，x）-2*x^2-x）

simplify（diff（y，x）-2*x^2-x）

x=0：；

输出结果得：y=（x^2*（4*x+3））/6；

所作图像如下图：

二、Matlab在含指数微分方程中的应用

在解决含指数的微分方程中，Matlab同样有很好的作用。其解决的原理与解决一阶线性微分方程有相类似之处。首先定义自变量x，因变量y以及微分函数dsolve，对于本题，可以通过常数变易法，先解出的通解，再根据此原理得出函数的特殊解P=2x，即可对题目进行求解。

例2.

解：设计程序如下：

Syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x*exp（-x^2）+x*y，x）

siff（y，x）-2*x*exp（-x^2）+x*y

simplify（diff（y，x）+x*y-2*x*exp（-x^2））

所作图像如下图：

三、Matlab在微分方程初值问题中的应用

对于常微分方程的初值问题，实际上就是要求未知函数y（x）在区间[a，b]上的一系列离散点（节点）上函数值y（xk）的近似值yk（k=1，2，3....，n）的问题。（a=x0

（1）

由此方法求解方程是不合适的，但其满足二阶Runge-Kuta方法的计算公式。现给出计算公式：

（2）

其中c1，c2，均为常数，为简单起见，常令c1=c2=，=1。将c1，c2以及a的值带入可根据该方法解决微分方程的初值问题数值解求解的问题。

例3.求解微分方程初值问题的数值解 ，求解范围为区间[0， 1]。

解：设计程序如下：

fun=inline（x^2+y-1，x，y）；

[x，y]=ode23（fun，[0，1]，2）；

plot（x，y，o-）

y=C9*exp（x）-2*x-1

程序运行绘图如下图：

拓展：经典的四阶Runge-Kutta算法在求解微分方程初值问题的数值解时同样有着很强的作用。给出四阶Runge-Kutta法的四阶算法，为：

（3）

对于经典的四阶，或者是n阶的Runge-Kutta法其中的k1，k2，k3，k4之前的系数满足梯形法则公式，给出梯形法则的公式：

（4）

可将其等同理解为被积函数近似的看做一条直线，而被积的部分近似的看做梯形。若是题目要求得到更加精确的数值，可以将要积的区间分成更多个小的区间，再在每个区间之内个别估计；那么可以将原公式改进为：

（5）

在Runge-Kutta法，微分方程的求解问题，定积分的估算问题等，都可以借助梯形法则来帮助求解问题。

四、总结

从上面三个例题中可以发现，Matlab在解决微分方程的相关问题中，确实发挥着极其重要的作用，其不仅可以解决较为复杂的微分方程的求解问题、在解决微分方程的初值问题时找到较为精确的数值解，还可以使函数可视化，帮助更好的理解题目与解题思路。因此，Matlab已成为解决复杂微分方程的问题的重要工具。

参考文献

[1]闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012，（02）：95-99.

[2]王亚男.MATLAB在常微分方程中简单应用[J].福建电脑，2011，（09）：194+189.

作者简介：孙瑞鹏（2000.09-），男，汉族，河南省实验中学，研究方向：Matlab在微分方程的应用。