探究考题研发课例，切实提升复习效益——以2016年广东广州第24题教学为例

☉江苏苏州工业园区教师发展中心陈莉

探究考题研发课例，切实提升复习效益
——以2016年广东广州第24题教学为例

☉江苏苏州工业园区教师发展中心陈莉

中考复习阶段的备课，重在选题，支持入选例题讲评的理由可以有很多，比如，贴近某知识点选题，或依据某数学方法或解题策略选题，或尝试由一道题关联多个知识点、数学思想方法，以达到精选精练，通过解题教学发挥例题的价值.本文拟结合近期笔者在中考二轮复习期间一道例题的备课、教学经历，阐释中考复习时例题预设的一些思考，供研讨.

一、考题及思路突破

考题：（2016广东广州中考卷，第24题）已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B.

（1）求m的取值范围.

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标.

思路简述：

（1）需要考虑两个方面.第一，由二次函数的定义知二次项不为0，所以m≠0.第二，根据抛物线与x轴相交于不同的两点，得对应的一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根的判别式为正数！所以Δ=（1-2m）2-4m（1-3m）= 16m2-8m+1=（4m-1）2＞0，故4m-1≠0，解得m≠.综上可知，m的取值范围是m≠0且m≠.

（2）首先要理解待证的方向，即开展目标解析，这是一个过定点问题，也就是无论x取何值，都与参数m无关，那就需要将二次函数重新变形、整理，y=mx2+（1-2m）x+ 1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=（x2-2x-3）m+x+1，这一步变形十分关键，因为此时m是否发挥作用，与（x2-2x-3）有关，只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点.解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1.

当x=3时，y=9m+3-6m+1-3m=4，即P（3，4）；

当x=-1时，y=m-1+2m+1-3m=0，点（-1，0）是x轴上的点，不合题意，舍去.

故该抛物线一定经过非坐标轴上的点P（3，4）.

（3）由于上一问中已确定了点P的坐标为（3，4），则△ABP的面积就由边AB的长决定，我们的目标就是设法用含m的式子表示AB的长，这样S△ABP=×AB×yP=2AB.接下来就是要求出点A、B的坐标（用含m的式子表示）.一元二次方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0中，由求根公式，得所以x1=，可判定可判定于是S△ABP=

第（3）问另解思考：

首先，求方程mx2+（1-2m）x+1-3m=0的根时，可以使用十字相乘法绕开求根公式；

其次，A、B两点的距离可以利用根与系数的关系进行简化运算（绕开求根公式），即使用|x1-x2|=

图1

二、考题的教学记录

教学环节（一）基础热身.

例1已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B.

（1）当m=1时，求点A、B的坐标；

（2）求m的取值范围；

（3）小成同学发现，该抛物线一定经过x轴上一个定点，请判断“小成发现”是否正确，并说明理由.

教学记录：引导学生由特殊值出发，感受点A、B的坐标，并计算根的判别式，练习了原考题的前两问，第（3）问要求学生运用求根公式或十字相乘法，获得发现，对于后面难题的突破有所铺垫.

教学环节（二）拾级而上.

例2已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m.（1）当x=-1时，求y的值.（2）当x=3时，求y的值.

（3）小南演练上述两题之后，猜想：该抛物线一定经过两个定点.你觉得“小南发现”是否正确？如果正确，请证明他的发现；如果不正确，举出反例.

教学启示：安排两个特殊值引路，让学生感受该抛物线会经过两个定点，并且需要证明，针对原考题的第（2）问进行训练.

教学环节（三）挑战难题.

例3已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B，且经过第一象限内一个定点P.

（1）求定点P的坐标.

（2）求AB的长（用含m的式子表示）.

教学记录：第（1）问是延续考题的一个问题，然后求出AB的长（注意需要含绝对值符号表示），有了铺垫之后，有利于第（3）问的思路获取，这样就可把第（3）问的教学重点用在分析取值范围上，并且安排学生从不同角度思考.

教学环节（四）变式再练.

变式检测题：已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+2-8m与x轴相交于不同的两点A、B.

（1）求m的取值范围.

（2）求线段AB的长（用含m的式子表示）.

（3）小洁发现：该抛物线会经过两个定点！请判断“小洁发现”的真假，并说明理由.

（4）该抛物线一定经过非坐标轴上的一点M，直接写出点M的坐标.

（5）当1≤m≤4时，由（4）求出的点M和点A、B构成的△ABM的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值.

变式意图：这里主要变式了抛物线解析式的系数，并且在第（5）问增设了一个最值，原题只有最大值，因为所给的m只是半开半闭区间，但这里给的是闭区间，所以既有最大值也有最小值.

三、教学思考

1.深刻理解考题，从不同角度贯通思路.

面对有难度的中考综合题，教师要在贯通思路的基础上，深刻理解考题的考查意图，并在回顾反思时，从不同角度贯通思路，看清问题结构.如上面“考题”的思路简述时，我们在突破考题第（3）问时，在不同的解题路径中都预设不同的方法，满足不同学生的思维风格，便于学生寻找思路切入点.

2.理解班情学情，精心预设教学环节.

在教师对问题有深刻理解的基础上，结合本班学生的班情学情，围绕考题精心预设教学环节，通过增设一些铺垫式问题，让学生经过热身练习，拾级而上，挑战难题，在这个过程中，既解决了一个问题，同时也收获了难题突破的思维方法或解题策略，即学会以退为进、各个突破、目标解析等解题策略.

3.加强效果反馈，变式改编巩固再练.

开展较难问题的变式再练是《中学数学（下）》近年来多篇课例研究倡导的教学要求，我们深受启发，也在日常的解题教学中进行尝试.特别是针对一些较难题通过增设小问，使得较难题的小问扩充到5个小问左右，每个小问20分，也便于百分制的评分，又能调控学生的基础得分，并能鼓励优秀学生挑战难题、向上生长，使得解题教学的效果得到反馈、巩固和拓展.

四、写在后面

将近一个学期的中考复习有很大的精力都在解题教学、试题讲评上，如何开展这类课型研究，值得我们认真对待和思考.笔者认为，近年来《中学数学（下）》刊发的大量的考题教学的“一题一课”教学设计研究是值得广大一线教师深入开展的，一方面这类课例丰富起来，可以让教师直接“拿来”，稍加改编、制作PPT后就可运用到自己的课堂上；另一方面，这类课例中有不少改编题、变式题，也为命题研究提供了丰富的素材和视角，值得学习.

1.朱金祥，刘东升.数学教学中例题变式的策略——基于教学追问的视角［J］.教育研究与评论（中学教育教学版），2016（9）.

2.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

3.许燕.从解题赏析走向教学研究——以2016年无锡卷第27题为例［J］.中学数学（下），2016（10）.

4.孙莉.思路生成贵在自然，一题一课追求简约——一道考题的思路突破与习题课设计［J］.中学数学（下），2016（9）.

5.吴忠妙.一道考题的思路、难点与教学设计［J］.中学数学（下），2016（9）.