在数学体验过程中，发展数学核心素养*<br/>——以“探索三角形相似条件”为例

在数学体验过程中，发展数学核心素养*
——以“探索三角形相似条件”为例

2017-04-24江苏南京育英第二外国语学校殷艳

中学数学杂志 2017年8期

关键词：纸片证明三角形

☉江苏南京育英第二外国语学校殷艳

☉江苏南京市教学研究室王红兵

在数学体验过程中，发展数学核心素养*
——以“探索三角形相似条件”为例

☉江苏南京育英第二外国语学校殷艳

☉江苏南京市教学研究室王红兵

人的生命存在不同于一般动物之生存的地方在于：他对自身生存及世界的意义有所领悟、有所感受，他意识着、体验着……新一轮基础教育课程改革突出强调学生在教学过程中的体验，这不仅仅是教学行为方式的改革，更是教学思维方式的转换.

笔者有幸成为江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“初中数学体验室建设与利用的研究”的核心成员.在主持人赵齐猛、张爱平的引领及课题组各位指导专家的指导、同仁的帮助下，体验了一把“体验式教学”，设计并执教了一节题为“探索三角形相似条件”的体验课程案例，教学体验过程中不断领悟、思考、总结、反思，形成了一些初步观点，与同行交流.

图1

一、体验案例展示

【体验准备】

如图1，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，△ADE与△ABC有什么关系？为什么？

（1）你证明的依据是什么？（2）我们把“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”这个定理称为判定三角形相似的“预备定理”，把它的图形形象地称为“平行线A型”.你对相似有着怎样的理解？

（形状相同，大小不一定相等；三角分别相等，三边成比例；全等是特殊的相似）

（3）其中一个三角形经过怎样的变化得到另一个三角形？

（一个三角形按比例放大或缩小可以得到另一个三角形）

【设计意图】通过问题的解决，复习上节课学习的相似三角形的定义和“预备定理”的具体内容，为后面剪相似三角形、检验相似三角形、证明三角形相似条件作准备，同时为学生用“叠合法”证题创设思维情境.

【体验器具】

三角形纸片1张/生、长方形纸片2张/生、剪刀、刻度尺/生、量角器/生、圆规/生、计算器/生.

【体验过程】

（一）体验与直觉.

每个学生有一张三角形纸片，你能剪一个与已知的三角形纸片相似的三角形纸片吗？先想一想怎样剪，然后小组合作，看哪一组的方法多.

【设计意图】开放性设计，创造性体验，思维空间大.引导学生围绕问题进行研究性学习，培养学生的发散思维.

（二）体验与抽象. 1.刚才的活动中，你是怎么想的，又是如何剪的？（1）在已知三角形上画一边的平行线截得一个三角形，再画与截得的三角形全等的三角形，剪下来；

（2）比着已知三角形纸片画两个相等的角然后剪下来，得到一个三角形纸片；

（3）先画一个与已知三角形中某角相等的角，再分别将角的边长放大或缩小2倍或3倍；

（4）如图2，取已知三角形三边的中点，画出中点三角形，剪下来.

（教师点评：这种方法是三边成比例、比值为2的特殊情况，我们推广一下，比值为3、4、5、…、n，猜一猜三边成比例的一般情形是否相似）

（5）剪一个与已知三角形纸片全等的三角形纸片.

图2

【设计意图】全班交流研究的过程与结果，在暴露思维的过程中，学会如何进行数学思考.此时，很多学生的剪相似三角形的方法只是停留在直觉感性、类比猜想的层面.

（三）体验与发现.

剪一个与已知三角形相似的三角形，就是寻找相似三角形的条件.你剪的相似三角形满足的条件是什么？

【设计意图】引导学生逐一将操作活动数学化，汇总学生探索出的判定三角形相似的各种方法.

（四）体验与推理.

1.你剪下的三角形纸片与已知三角形纸片相似吗？不妨检验一下.

检验方案：

（1）灯光投影，从形状的角度验证（利用实物投影仪做灯光投影实验）；

（2）量出各边、各角的数据，计算，利用定义验证；

（3）对于两角分别相等的方法，叠合验证：把较小的△A′B′C′，叠合到较大的△ABC上，使∠B与∠B′重合，点A′、C′分别落在BA和BC上，又由∠B′A′C′=∠BAC，可知A′C′∥AC，从而△ABC∽△A′B′C′）

【设计意图】剪后再检验，符合认知过程.检验是合情推理，测量与灯光投影都存在误差，叠合是操作验证，增加了结论正确性的可信度与认可度，要确定结论是真命题还有待证明.

2.已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求证：△ABC∽△A′B′C′.

图3

（1）证明之前，我们追忆体验一遍刚才叠合检验的过程；

（2）把大小三角形纸片抽象成两个三角形（如图3），如何证明？（数学化）

（3）你是怎样想到这样证明的？我们一起回顾一下证明的过程.

（反思总结证明方法：构造了一个全等三角形作为“中介”，实现图形运动与转化）

4、经过证明，实验探究的结论为真命题，由此我们得到如下定理：两角分别相等的两个三角形相似.

【设计意图】教师先选择“两角分别相等的两三角形相似”来证明，证明前先追忆体验叠合的检验过程，使得大多数学生能想出证明的方法.反思证明的思路，为后续证明其他条件的方法迁移做准备.

（五）体验与评价.

两边成比例及夹角相等的两个三角形相似吗？三边成比例的两个三角形相似吗？如果不相似，请画出反例；如果相似，请加以证明.

二、数学体验与数学实验

江苏省教研室董林伟主任领衔创立的初中数学实验理论框架及其实践推广，是一项意义重大的课改课题与系统工程，取得了丰硕的成果.“数学实验”是运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.这项课题有效地转变了师生教与学的方式，唤醒了学生的主体意识，凸显了学习的过程性，发展了学生的数学素养，积累了数学活动经验.但数学实验是数学教学的某一环节，不是整个教学过程.“数学体验”则是在数学思维活动的参与下主动亲历某件事，从而获得相应的数学认知和情感的学习活动.

本课例的教学流程是“体验与直觉—体验与抽象—体验与发现—体验与推理—体验与评价”，符合范希尔几何思维的五个水平“视觉水平—分析水平—非形式化演绎水平—形式演绎水平—严密性水平”，而采用范希尔学习模式教学法，比采用传统讲授式教学法，更能产生较高的几何思考层次及学习成就.其中“体验与直觉—体验与抽象—体验与发现”是运用纸片、剪刀、作图测量等工具，以“做”为支架的数学实验教学活动，实践的过程也是个体体验的过程.“体验与推理—体验与评价”则是以心理体验为主的教学活动过程.

由此可见，数学实验是数学体验中的“实践体验”，是体验教学的一部分，除“实践体验”外还有“心理体验”，体验是教学的全过程，内在的有意义的学习过程即为体验的过程.数学体验是一种主体性、过程性、反思性、情境性的生命化学习方式.

三、在数学体验过程中，发展数学核心素养

亲历性与个性化是体验学习的突出特征，“在体验中发展”是体验教学的精髓.

1.在实验过程中体验，发展直观想象、空间观念、创新意识、实践精神.

在“体验与直觉”环节，“你能剪一个与已知的三角形纸片相似的三角形纸片吗”是本课第一个主问题.小组合作实践活动结束，“体验与抽象”环节全班交流方法，有位学生的剪法是：比着已知三角形纸片画两个相等的角，然后剪下来得到一个三角形纸片.撷取此时课堂师生对话如下：

师：你剪的三角形满足的条件是什么？

生：两角分别相等.

师：你为什么找两角分别相等，不找第三组角也相等？

生：因为三角形内角和为180°，两角分别相等，第三组角一定相等.

师：为什么没有边的条件？

生：我在剪的过程中发现，无论边的长短是多少，只要两角分别相等，两个三角形就相似.

由此片段可见一斑，学生能操作分析图形的组成要素“边与角”，并根据边、角比较两个三角形纸片，整体直观感知形状相同的条件，但此时还无法或难以解释其中的缘由，处于范希尔思维水平的直观与描述水平.此环节，学生在手脑并用的数学实验活动中，体验三角形边、角元素对图形形状大小的影响，同时体验决定三角形形状需要几个元素及这几个元素间相互的关系，从而建立空间观念.学生剪出相似三角形后，教师又提出一主问题“你能检验它们相似吗”.一部分学生测量两三角形的对应边、角，计算对应边是否成比例，对应角是否相等，利用相似三角形的定义去检验，实现定性到定量自然过渡.还有一部分学生把相等的角叠合在一起，利用已学的判定三角形相似的“预备定理”验证.这些都是研究图形的根基与本原，直达数学内部的感知与体验，必将在主体的内心世界扎根、繁殖，从而促进主体素质的实质性发展.

此环节，以“看哪个小组剪的方法多”的竞争形式，为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，没有任何限制.充分的时间是主体亲历体验的必要保障.学生从不同的角度思考各种不同的方法，生成异常丰富，培养了思维的发散性，在“再发现”中发展了创新意识，在从“三角形纸片的边角”到“相似一般条件”的过程中发展了数学抽象能力，积累了数学活动经验.

2.在追忆过程中体验，发展演绎能力、数学化能力.

在“体验准备”环节，通过证明题回忆已学的证明三角形相似的方法——“定义”与“预备定理”，后面剪相似三角形纸片环节，不乏利用“预备定理”来指导剪纸的学生，运用的是演绎的思维方式.然后顺势追问“你对相似三角形有哪些理解”，充分深入挖掘“相似三角形”各种不同角度的理解与丰富的内涵，为后面学生自主建构各种各样的相似三角形条件奠定坚实的基础.

数学发展的历史告诉我们，许多数学发现都和实验与观察有关，最典型的例子莫过于三角形内角和定理，度量或拼合三个角的数学实验不仅发现“三角形内角和为180°”的结论，还发现了证明的方法.同样，剪相似三角形纸片的实验发现了三角形相似的条件，叠合检验相似三角形的操作实验帮助发现了证明的方法.然而从叠合检验实验到发现证明方法并非像人们想象的那么轻而易举，这是范希尔思维水平的“非形式化的演绎”水平向“形式演绎”水平的过渡.而克劳雷告诉我们，范希尔理论具有进阶性，也就是从一个水平向另一个水平的过渡不是平缓的，而是一个“跳跃”的过程，在达到新水平之前，学生必须经历一个“思维的危机”.“体验与推理”环节，通过测量、计算、放大、叠合等合情推理进一步验证猜想，增加对自主建构的“相似条件”的认可度.在此基础上，追忆叠合验证法，强化过程，促使学生能够想到通过构图来达到叠合的目的，从而找到证明“两角分别相等的两三角形相似”的方法.某种程度上解除“思维危机”，使“描述水平”向“理论水平”平缓过渡.此过程正是逐步数学化的过程，无疑可发展学生的数学化能力.追忆体验主要是心理体验，不排斥有意义的接受学习方式.

3.在证明的过程中体验，发展抽象能力、推理能力.

“三角形相似条件”的证明有相当的难度，其中涉及构造一个全等三角形作为“中介”，这一证明方法学生相对比较生疏.剪三角形纸片、叠合验证、追忆叠合等操作体验活动，为构造“中介”三角形的证明方法搭建了脚手架.在这个过程中，三角形纸片作为具象素材支持学生的思考，自然过渡到数学中的“三角形”进行抽象形式推理，有效突破难点，积累了利用辅助线构图实现操作中图形元素转移的活动经验，提高了证明能力，发展了数学抽象.

3.在反思过程中体验，发展自我反思能力.

本课例注重暴露思维过程，剪相似三角形纸片时，问学生“怎样想？如何剪的”试图促使学生暴露类比全等三角形条件剪相似三角形的思维过程；证明判定条件“两角分别相等的两三角形相似”时，问学生“你是怎样想到这样证明的”试图引导学生暴露由“叠合验证”的操作活动想到构造“中介三角形”的证明方法的思维过程.这些都是促进学生核心素养发展的思路性问题，属于高层次数学问题，但因距离学生实际自我反思能力较远，没有取得预期的效果.如果能分解为层层递进、更为细化具体的小问题进行追问，比如：

师：你怎么想到寻找“两边成比例及夹角相等”的条件剪相似三角形纸片的？

生：因为全等三角形条件中有一个是“SAS”，所以想到相似三角形也找两边及夹角.

师：全等三角形条件“SAS”中的两边相等，到相似三角形为什么变化为两边成比例？

生：因为全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形大小相等，但相似三角形大小不一定相等.相似三角形两边不一定相等，只需要成比例就可以了.

师：所以三角形全等条件比相似条件要求高，两边“相等”弱化为“成比例”.类似的，可以通过弱化全等条件的方式，类比猜想其他三角形相似的条件.

如此追问，显然能让思路外显，在暴露思路、教师完善的过程中教会学生正确思考问题的方法，不仅想到类比，还知道如何去类比，增长了智慧.这种反思性过程性教学是心理体验的过程.

“体验与推理”环节中证明结束后，带领学生反思证明的思路：通过构图，将两个三角形联系到一个三角形中，转化为“预备定理”图形，实现图形运动和转化.在反思过程中形成概括性经验与方法，为后续证明其他相似条件方法迁移做准备.反思内省将自己的亲历进行归纳、强化、提升，是学习过程的关键要素，是开启体验学习中蕴藏意义的最佳途径.学习者必须在体验过程中不断反思，并产生个人内化意义，才能达成体验式学习的效益.