基于化归思想的高中数学应用研究

2017-04-22周子尧

科技创新导报 2016年32期

周子尧

摘要：在学习高中数学知识的过程中，我们会遭遇各式各样的问题，能否解决这些问题才是我们学好数学的关键，而解决问题的数学方法很多，但其核心都在于解题思路，这种清晰而又正确的解题思路被称为化归思想。基于此，该文简单分析了化归思想的内涵、明确内容、模式以及原则，并通过一些实际应用阐述了化归思想在高中数学应用中的重要性。

关键词：高中数学化归思想解题思路

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）11（b）-0128-02

化归思想是一种常见而又特殊的解题思想，同时，也是一种最基本的思维策略，更是一种切实可行的数学思维方法。简单地说，化归思想就是指我们在解决某一数学问题时，采用某种手段将问题通过变换的形式，转化成简单的、易求解的、具体的、直观的问题，从而解决问题的一种方法。在高中数学例题中，化归思想无处不在，它能有效地减少学生解题的时间，而且还能增强学生解题后获得的成就感，同时，还能锻炼学生解题思维能力。正因如此，化归思想受到了广泛的关注。

1 化归思想分析

1.1 内涵

根据笔者对化归思想的认识，其内涵可以表达为用真命题证明新命题，用现有概念来定义新概念，并以此来处理各种新问题，也正是这种特殊的内涵，使得数学可以通过一定的改造与手段来构建一些新的体系，让数学内容与形式变得丰富多彩。而在高中数学中，化归思想的影子随处可见，如方程求解化归为一元或二元方程求解，立体几何问题通过空间向量转化为代数问题，数列求和问题转化为等差或者等比数列问题，函数问题转化为导数问题等。

1.2 明确内容及模式

在应用化归思想时，应注意明确三项内容：化归的对象、化归的目标以及化归的途径。其中，化归的对象为转化变更部分；化归的目标是将化归的对象转化为能处理的问题；化归的途径是为实现化归的目标所采取的方法。这种途径在我们高中数学里常见的形式有：换元、配方、割补、向量表达等，我们可以将此分为三大类：数量特征的转化、数学形式特征的转化、位置关系的转化。而化归思想的一般模式如图1所示。

1.3 原则

化归思想所要遵循的一般原则有：简单化原则、具体性原则、标准化原则、和谐统一性原则以及低层次化原则。

2 化归思想在高中数学中的实际应用

2.1 不等式直接转化问题

转化问题可谓是化归思想里的核心问题，是将待解决问题转化为易解决的问题，在这个过程中，需要利用一些基本的定义、定理以及熟悉公式或者图形描述，使得问题一目了然，得到快速解决。

例1，（2008年江苏数学试卷）设，，均为正实数，证明：≥。

解题思路：利用高中数学里熟悉的不等式公式，将例一的证明直接转化，即注意到，，均为正实数，可以得到≥，于是≥，倘若能证明≥，那么问题得证，现有不等式≥成立，故，当且仅当时，等号成立，即原问题得证。

当然，也有些数学题是直接利用表1的关系来命题的，例如，已知0≤≤6，为实数，不等式恒成立，试求的取值范围。

2.2 换元法问题

换元法也是化归思想里的一种常见的方法，它是将一些过于复杂的不等式或者方程、函数等化归为比较直观而又简单的问题。在我们高中数学中，基本都是局部换元，即将一些式子视为一个整体，并用某个变量去替换，从本质上来讲，这是一种等量化归思想，即构造元或者设置元使得我们求解的复杂问题逐步简化。

例2，（2008年浙江数学试卷）若，求（）。

（A）（B）2 （C）（D）-2

解题思路：现令，，由可得，而由知，故，联立两个等式得，求得，所以，，因此，答案选（B）。

2.3 数与形的转化问题

在高中数学里，数与形密不可分，两者相互转化，相互渗透，数缺少了图形辅助则便少了主观性，形缺少了数则难以描述，由此可见，作为高中数学里最基本的研究对象，数与形体现了两者在高中数学里最重要的一面，即几何与代数的结合，而从思想方法来看，数与形的转化也更加直接地体现了化归思想。当然，只要我们善于观察数与形之间的关系，并将其具体应用到数学解题中去，那么，我们相信在今后的高中数学学习中，准确而快速的解题方式将大受欢迎。

例3，已知恒等式，试求的最小值。

解题思路：将关于数的问题直接转化为形的问题，即把原问题看作是在求点到点之间的最短距离，也就是求点到直线距离中最短的距离，由我们熟悉的点到直线距离公式便可求得。

值得说明的是，在问题处理上，巧妙地进行了转化，使得代数问题更加直观地化归为平面几何问题，这样做的好处在于它能避开求最值時所要考虑的条件满足问题。

2.4 多维向低维转化的问题

多维向低维的转化，在高中数学里最为常见的就是空间几何问题，如物体的运动轨迹、空间截图等，可以说是将三维空间问题转化为平面几何问题，并在二维平面基础上，应用现有的公式、定义、定理等，最终把待求解问题逐一简化，使我们解题更容易。

例4，如图2所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，且，现有一物体从点出发，沿着长方体ABCD-A1B1C1D1的表面运动至点，试求物体在这个运动过程中的最短路程？

解题思路：将上述长方体ABCD-A1B1C1D1视为一个正六面体的盒子，并将其最右边平面与最后边平面展开，分别得到如图3和图4的俯视图，由高中数学知识里的平面几何中两点之间直线段最短原理，即可求出该物体运动的最短路程必是、、这三者之一。

通常，求解最值问题基本都是转化为函数形式，但是，该题是空间几何运动问题，且题中并没有告诉已知的函数，故转化为函数形式行不通。然而，平面几何求最值的方法很多，如两点距离最短原理等，因此，通过化归思想将问题化归为二维平面问题，可使求解问题变得更加简单。

3 结语

综上所述，化归思想在高中数学中非常重要，它能帮助我们快速地、准确地将一些复杂的、抽象的问题化归为简单易懂的问题。我们在学习数学知识的过程中，要善于运用化归思想，这样我们的数学思维能力才会得到锻炼和拓展，同时，数学问题也能得到解决。

参考文献

[1] 杨宇.高中数学教学中运用化归思想的案例分析[D].天津师范大学，2012.