抛物线的切线在中考数学综合题中的应用

韩宝玉

摘要：中考数学综合题是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面.因此，中考数学综合题的解题策略是把综合题分离为相对独立而又单一的知识模块或方法模块去思考和探究.

关键词：抛物线；切线；数学

从试题类型上讲，中考综合题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答.

下面笔者就以如何利用抛物线的切线解决中考数学综合题进行举例说明.

例1、抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

分析：此题可先借助于待定系数法确定抛物线的解析式，然后求出A、B、C、D各点的坐标，由于点B、C、D为定点，故△BCD的面积为定值，平移直线BC，使之与抛物线相切，切点为点F，则△BCF的面积最大，从而四边形CDBF的面积最大，求出切点F的坐标，即可确定点E的坐标.

解：把点A（-1，0），C（0，2）的坐标代入抛物线的解析式，有

解得m = ，n = 2∴抛物线的解析式为

配方得 ，∴D（ ，0）.当y = 0时， ，解得 ， ，∴B（4，0）

设直线BC的解析式为y = kx+2，把点B（4，0）的坐标代入直线BC的解析式，有4k+2=0，解得k = ，∴直线BC的解析式为 再设平行于BC的抛物线的切线l的解析式为 ，

则切点F的坐标为方程组 的解，由于抛物线与直线l相切，故方程组有唯一解.代入消元得 ∴Δ=16-4（2b-4）= 0，解得b = 4.

∴ ， ，当x = 2时， ，∴F（2，3）.

∵点E在直线BC上，∴当x = 2时， ，∴E（2，1）.

作FG⊥y轴于点G，则FG=2，OG=3，∵OC=2，∴CG=1，又OD= ，OB= 4，

=

即当E点运动到点（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，最大面积是 .

例2、已知抛物线 经过原点，将抛物线上x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线 与该新图象恰好有三个公共点，求b的值.

分析：此题亦可先借助于待定系数法确定抛物线的解析式，然后求出A点和抛物线的顶点坐标，进而确定翻折后的抛物线的解析式，由于直线 从左向右上升，故该直线过点A时与图象恰好有三个公共点，将该直线平移，使之与翻折后的抛物线相切，切点为点E，此时该直线与图象恰好也有三个公共点，利用判别式法可以确定b的值，也可求出切点E的坐标.

解：∵抛物线 经过原点，∴ ，故k = 1，抛物线的解析式为 ，当y = 0时，

，解得 ， ，∴A（-2，0）.①由于直線 从左向右上升，

故该直线过点A（-2，0）时它与图象恰好有三个公共点，∴ ，解得b = 1.

② ∴翻折后的抛物线的解析式为：

当直线 与翻折后的抛物线相切时，该直线与图象恰好也有三个公共点，则切点E的坐标为方程组 的解，由于抛物线与直线相切，故方程组有唯一解.代入消元得 ∴Δ= ，解得b= .综上，当b的值为1或 时，直线 与该图象恰好有三个公共点.

判别式法是解决抛物线的切线的有效解题模式和途径，也是中考数学综合题的常用解题策略之一，通过以上两个范例的分析和解答，希望能给读者解决相关中考数学综合问题提供一些帮助和启发.