对一道课本例题的变式教学

☉合肥师范学院数学与统计学院 邓珍珍☉合肥师范学院数学与统计学院 张新全

对一道课本例题的变式教学

☉合肥师范学院数学与统计学院 邓珍珍
☉合肥师范学院数学与统计学院 张新全

扎根于课本的数学变式教学是通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变化，使学生有效地加深对数学知识的认识和理解，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，再从“不变”中探求规律.数学变式教学不仅很好地解释了“中国学习者悖论”，而且其一题多变、一题多解、多题归一（一法多用）和一题多用的变式给学生以新鲜感，增加了学习兴趣，减轻了学习负担，提高了教学有效性，培养了学生良好的思维品质.下面是我们对一道课本例题进行的变式教学设计.

题目：（沪科版八年级上册数学等腰三角形课后例题）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、E是底边上两点，BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.

思路：通过分析条件，很容易想到从三角形内角和为180°与等腰三角形底角相等出发，尽可能多地求出图中角的度数，最终求出所求角的度数.

图1

因为BD=AD，所以∠BAD=∠B=30°.

同理可得：∠CAE=∠C=30°.

所以∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30° =60°.

一、改变条件，抓住本质

变式1：本例去掉条件AB=AC，能否求得∠DAE的度数？

思路：去掉条件AB=AC，我们不再知道∠BAD和∠EAC分别是多少度，但由等边对等角可知∠BAD+∠EAC=∠B+∠C=180°-120°=60°.

所以∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=120°-60°= 60°.

可见原题中的条件“AB=AC”是多余的，变式1从特殊的等腰三角形ABC推广到一般的三角形ABC，但只要保持本质属性不变，结论仍然成立.这种变式有利于学生创新思维的形成.

变式2：已知：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，D、E是BC边上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.

答案：∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=90°-90°= 0°.

此时，AD与AE重合.

变式3：已知：如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，D、E是直线BC上两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.

答案：∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=120°-60°=60°.

变式2、3不断地变换条件的层次，将原题条件∠BAC=120°分别变为∠BAC=90°、∠BAC=60°，而且变式2、3强调了∠DAE与∠BAD+∠CAE、∠BAC的关系.这样不但活跃了学生的思维，还将知识、能力和思维方法在更多的新情境中反复渗透，达到了深化、升华的效果.

图2

图3

二、条件一般化，发现一般规律

“一般化”是构造变式题的一种重要方法，如果∠BAC的度数未知，那么∠DAE与∠BAC有何关系？于是，我们得到如下变式：

变式4：已知：在△ABC中，∠BAC=α，点D、E是直线BC上的两点，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数.

解析：因为BD=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）当0°＜α＜90°时，

∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=（∠B+∠C）-∠BAC=（180°-α）-α=180°-2α.

（2）当90°≤α＜180°时，

∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=∠BAC-（∠B+∠C）=α-（180°-α）=2α-180°.

综上可得：∠DAE=|180°-2α|.

变式4实际上是对前三个变式的归纳总结，变常量为变量.对于上述演变过程，我们可以利用几何画板动态展示给学生看.以课本例题为“钥匙”，通过改变条件，引申探究，加深学生对基础知识的掌握，可以提高学生自觉钻研书本例、习题的积极性.

三、改变背景，训练思维

变式5：已知：如图4，在△ABC中，∠BAC=120°，D、E是直线BC上两点，且AB=BD，AC= CE.求∠DAE的度数.

解析：因为AB=BD，所以∠BDA=∠BAD.同理可得∠AEC=∠CAE.又因为△EAD的内角和为180°，所以∠AEC+∠BDA+∠EAD=∠CAE+∠BAD+∠EAD=180°.∠BAD+∠CAE=∠BAC+∠EAD=120°+∠EAD.

因此120°+2∠EAD=180°，则∠EAD=30°.

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法.通过改变条件，可以让学生对不同条件的情况作出正确的分析；通过改变结论可以培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活和严密.类比以上变式，引导学生自主参与变式，能不能使条件一般化“令∠BAC=α”，对参数α进行讨论，得出一般规律？学生探究有困难时，可适当予以提示：点D、E可以在线段BC上，也可以在其延长线上，甚至可以重合.最后，利用几何画板向学生演示动态变化的过程.

变式6：已知：在△ABC中，∠BAC=α，D、E是直线BC上两点，且AB=BD，AC=CE.求∠DAE的度数.

图4

四、因果互换，逆向思维

把∠DAE与∠BAC的地位交换，即∠DAE的度数是已知的，其他不变，是否可求∠BAC的度数？

变式7：在△ABC中，D、E是直线BC上两点，且BD= AD，CE=AE，∠DAE=60°.求∠BAC的度数.

解析：因为BD=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）当∠BAC为钝角时（如图5），因为∠BAC=∠BAD+∠EAD+∠CAE，∠EAD=60°，所以∠BAC=∠B+∠C+60°.又因为△ABC的内角和为180°，所以∠B+∠C+∠BAC= 2（∠B+∠C）+60°=180°，则∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=60°，则∠BAC=120°.

图5

图6

（2）当∠BAC为锐角时：

①当D、E其中一点在线段BC上，另一点在BC的延长线上时（如图3）.因为∠EAD=∠EAC+∠CAD=60°，△ABC的内角和为180°，所以∠B+∠BCA+∠BAC=180°=∠B+∠BCA+∠BAE+∠EAC=∠B+2∠BCA+∠BAE，则180°+∠EAD=∠B+2∠BCA+∠BAE+∠EAC+∠CAD= 2（∠B+∠BCA）=240°，所以∠B+∠BCA=120°，则∠BAC= 60°.

②当D、E两点都在线段AC的延长线上时（如图6）.∠EAD=∠EAB+∠BAC+∠CAD=60°，∠ABC=∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠ECA=∠CAE=∠CAB+∠BAE.又△ABC的内角和为180°，即∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°，所以180°+∠EAD=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠EAB+∠BAC+∠CAD=2（∠ABD+∠ECA）=240°.故∠ABD+∠ECA=120°，则∠BAC=60°.

综上可得，∠BAC=60°或∠BAC=120°.

逆向变式，可以培养学生的创造性思维.分类讨论，可以锻炼学生思维的严谨性.

课本上的例题、习题都是教材编写者精心编排的，教师应该扎根课本，抓住知识的本质，对课本例题、习题进行多角度的变式教学.从而“把冰冷的美丽化为火热的思考”，既能减轻学生课业负担，也能增强课堂教学的有效性，不断提高学生的思维能力.