解题研究再深入：以一道习题网络研讨为例

2017-04-21重庆市涪陵第十四中学校贺清伦

中学数学杂志 2017年6期

关键词：平分线变式研讨

☉重庆市涪陵第十四中学校贺清伦

解题研究再深入：以一道习题网络研讨为例

☉重庆市涪陵第十四中学校贺清伦

网络研题是当前一个热点教研现象，突出表现在一些主题QQ群、微信群里，由于网络平台打破了时空的限制，且交流上没有地位、名气、权威的限制，较能畅所欲言，常常也能见到不少精彩的论述.本文记录一道习题在网络上的深入研讨，并给出跟进反思，供分享.

一、一道几何习题的解法突破

（这是QQ群里某教师提出的一道习题）

题1：请用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ= 60°，在边OP上截取OA=20mm，在边OQ上截取OB= 30mm，连接AB，画∠AOB的平分线交AB于点C，并求出AC∶OC的值.

网络研讨简记：很快就有人给出该题的思路贯通，限于篇幅不展示原题的解答过程，我们把问题重新表述为题2，当然，不改变原题的结构与求解目标.

题2：如图1，BD为等边三角形

ABC的角平分线，点P为边BC上一

点，且BP=2CP，连接AP交BD于Q，求

PQ∶BQ的值.

图1

在△ABP中，由角平分线性质，可得PQ∶AQ=2∶3，于是

在△BPQ中，利用正弦定理，BQ∶sinα=PQ∶sin30°，代入计算，得出PQ∶BQ的值为

思路2：如图2，再补一个等边三角形ACM，则有菱形ABCM，根据相似性质，结合上一问中求出的AP长，容易求出BQ∶QM=BP∶AM=2∶3，从而也可求出BQ的长（避开使用正弦定理）.

图2

思路3：（九年级学生提供）以B为坐标原点构造平面直角坐标系，解出直线AP、BP的方程，再联立求出交点Q的坐标，然后利用两点间距离公式求出BQ、PQ的长.

典型错误解法：研讨过程中，也有人指出问题就是求图1中等腰三角形BPQ的底边与腰之比.这是一种典型错误，该错漏原因在于想当然地认为△BPQ是等腰三角形，我们可以利用几何画板构造图3看清上述观点的错误所在.

图3

二、变式改编后精彩解法

题3：（题1的变式改编）如图4，△ABC中，∠ABC=60°，BD是角平分线，BC=4，AB=6.求sin∠BDC的值.

思路1：如图5，构造∠BDE=30°，作DF⊥BC于F.依次求出CD、DF、CF、EF、DE、BE、BD的长，最后利用正弦定理带来的面积公式得出等量关系获得突破.

图4

图5

图6

思路2：这是一个老师构造的图形（如图6），并示意了相关求解数据，一目了然.

思路3：如图7，将原△ABC补成等边三角形ABE，并作CG⊥BF于G，延长BD交AE于F点，进而可确认F为AE的中点，容易根据相似三角形求出DF的长，从而获得思路贯通.

后记：笔者将该题作为家庭作业，布置给所教班级学生练习之后，再将上述变式与系列过程进行详细讲评，不少学生课后还以数学写作的方式整理该题的不同解题思路与变式.

图7

三、关于解题研究的相关思考

1.解题研究要尝试多样化解题路径，在“善于比较”中走向“多解归一”.

教师的解题研究不同于数学家或数学竞赛型选手的研题方式，在较快的思路下贯通难题，就继续下一问题，我们需要追求服务教学，让更多的后进学生、理解有困难的学生能跟进理解.这就需要我们在解题研究时对一道难题的思路不能满足于单一的、狭窄的解题路径，而要设法探求出多样化的解题路径.在获得一道题的多种解法之后，需要思考不同方法之间的关联，比如上文中图2与图6所对应的思路属于同一类；图1与图7所对应的思路也相对接近.当我们对问题的不同思路有了深入比对之后，才能居高临下地看待课堂上学生出现的不同思路，并作出即时而精准的评价或引导.

2.解题研究不能满足于就题论题，应在“洞察结构”之后“变式改编”.

常常见到不少解题爱好者解完一题，也能从不同角度贯通思路，追求一题多解甚至多解归一（这在不少期刊上的一些解题研究的文献中较为多见），然而这类研究还有深入下去的方向，这就是在洞察问题的深层结构之后，可以开展对问题的变式改编，在不破坏问题原来结构、解题目标的前提下，积极开展变式研究，这既是我国数学“双基”教学的特色，也有利于命题基本功、教学基本功的自主提升.比如上文中的题1到题2、题3，都可看成是这一方向的努力与尝试.事实上，我们见到很多优秀的中考试题，多数都是由之前大家很熟悉的某一类经典问题通过恰当的改编，包括改变问题呈现方式，改编设问角度，设计出来的.这种基于“多元表征”的变式研究是值得很多同行积极实践的，根据笔者的教学研究、命题研究的经验，能否在洞察问题结构的基础上进行恰当的改编设计，常常是一份试卷质量高低的重要指标，或者是一份教案中例题、习题选编的重要表征.

3.解题研究后注意素材归类搜集，并研发适合学生的专题学案.

作为必要素材收集与归类整理，我们在研究一些有价值问题之后要及时进行收集与归类整理，目前网络研讨之后不少有心的同行利用自媒体如微信、博客、QQ空间等平台坚持整理发布一些系列思考，并引发不少传播，是值得我们学习的.此外，我们还可把这些优秀的素材进行适当整理，研发适合学生的专题学案或微课教案.作为本文的最后，我们也将上文中的这道习题的研究资料整理成一份微课学案，抛砖引玉，供分享.