精心设计数学活动，促进学生自主发展——青岛版义务教育教科书数学（七～九）编写的原则之二

☉山东沂南县教育局 李树臣

精心设计数学活动，促进学生自主发展
——青岛版义务教育教科书数学（七～九）编写的原则之二

☉山东沂南县教育局 李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“教材编写建议”中提出了六条具体的“建议”，这是教材编写必须遵循的原则.其中一条是“过程性”原则，针对这一原则，进一步强调“教材应选用合适的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用.恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯、增强应用意识、提高解决问题的能力有着重要的作用.”

我们在编写青岛版义务教育教科书数学（七～九）时，是从以下两大方面落实“过程性”原则的.

一、全方位设计探究数学知识的活动

《课标（2011年版）》指出“在设计一些新知识的学习活动时，教材可以展现‘知识背景—知识形成—揭示联系’的过程.这个过程要有利于激发学习兴趣，理解数学实质，发展思考能力，了解知识之间的关联.”

为了便于教师和学生使用，我们是按节设计安排青岛版教材的，每节内容一课时，每节的具体结构如图1所示：

图1

教材中的每个栏目都是通过真实的情境、鲜活的实例或数学自身的素材，用“问题串”的形式，帮助学生进入学习情境的.让他们在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中，亲身体验数学的探究与发现过程，完成对数学知识的学习.这些问题既能反映数学的本质，还有助于学生开展观察、思考、实验等活动.这些栏目使得教材的课文处理方便、段落之间衔接自然.

每节课的课文都是由学生的活动构成的，这些活动是由图1中虚线框内的三个栏目——“交流与发现”“观察与思考”“实验与探究”引导学生展开的.例如，七年级上册教材60课时，共有三个栏目44个，其中“交流与发现”23个、“观察与思考”14个，“实验与探究”7个；七年级下册64课时，共有三个栏目57个，其中“交流与发现”23个、“观察与思考”24个，“实验与探究”10个.

每节课平均接近一个这样的栏目.有的一节课文含有多个这样的栏目，如七年级第1章第2节“几何图形”和第13章第3节“圆”都含有三个栏目，每个栏目各一个.

《课标（2011年版）》在“课程基本理念”中指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”对于新知识的学习，我们应结合学生的实际接受情况，精心设计问题系列，用“交流与发现”“观察与思考”“实验与探究”三个栏目引导学生自主探究、发现.

1.交流与发现活动.

数学交流与发现是指学生在运用数学语言、数学思想方法，以听、说、读、写等方式对已有数学知识进行认知的同时，发现新知识的活动.对于数学中的一些基本概念、性质、规律等知识的学习，通过设计系列问题，引导学生去思考并解答，学生在解答这些问题的同时将获得数学结论（数学概念、公式、规律、定理、法则）.同时还能积累一些基本的数学活动经验，当再遇到类似问题时便能借助这些经验，进行主动的富有个性的学习，从而不断提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.

案例1：二元一次方程概念的形成过程.

为了建立“二元一次方程”的概念，教材是用下面的问题引导学生进行“交流与发现”活动的：

雄伟的长城是中华民族的象征.据有关资料，长城西起嘉峪关，东至辽东虎山，全长约7300千米.其中西段从嘉峪关到山海关，东段从山海关到辽东虎山，西段比东段长约6100千米.长城的东、西段各长约多少千米？在这个问题中：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量关系？

（3）如果设长城东段的长为x千米，西段的长为y千米，那么长城的全长可以用含有未知数x、y的代数式表示为_______；西段比东段长_______.

根据等量关系：东段的长+西段的长=7300米，可以列出方程_______；

根据等量关系：西段的长-东段的长=6100米，可以列出方程_______.

上面的两个方程有什么特点？与同学们交流.

【设计意图】为了让学生经历二元一次方程的形成过程，创设了上面的问题情境.学生在思考、回答、讨论、交流以上问题的过程中，将会发现该问题中含有两个未知量：长城东段的长和西段的长；等量关系也有两个，然后根据这两个等量关系分别列出含有两个未知数的方程①（x+y=7300）和②（y-x=6100）.之后引导学生观察方程①和②的特点，发现它们与一元一次方程的不同之处，在对其共性进行分析的基础上，概括出二元一次方程的定义.

这种设计不仅让学生经历了二元一次方程的形成过程，认识到二元一次方程是在解决实际问题的过程中产生的，进一步加深了对方程本质的理解，有利于帮助学生形成“数学来源于生活又服务于生活”的意识.而且还能积累起通过建立新的模型（二元一次方程）解决实际问题的活动经验，这为后面继续学习建立分式方程模型、一元二次方程模型及不等式模型、函数模型等解决实际问题积累了宝贵的建模经验.

教材在引导学生学习《课标（2011年版）》界定的大部分“课程内容”时，都是结合具体内容和学生的认知实际，精心创设问题系列，以此引导学生通过数学交流活动，从而发现这些知识的.这样的设计有利于激发学生的学习兴趣，引起数学思考，从而更好地理解数学的实质，了解知识之间的相互关联，构建优化的数学认知结构，并且不断积累起有价值的数学活动经验.

2.观察与思考活动.

数学观察与思考，就是指运用数学的思维方式去思考、分析、探究在观察数学对象时遇到的问题，发现其中存在的数学现象和数学规律，从而运用数学的知识和方法加以解决的活动.青岛版教材对于数学中的一些运算律、公式、法则等知识，都是从学生已有的认知发展水平和经验出发，精选恰当的学习素材，设计一些问题，引导学生进行观察、思考、分析、综合、推理、判断等思维活动，在活动的过程中掌握这些知识.

案例2：中位数概念的学习过程.

在引导学生学习中位数概念时，教材是用下面的问题引导学生进行“观察与思考”活动的：

一组男生的身高分别为（单位：cm）：

164，172，178，170，167，168，167，172，169，170，170，156，159，161，171.

思考下面的问题，并与同学交流.

（1）这组数据中，共有多少个数据？

（2）将这组中的所有数据按照由小到大的顺序加以排列，排在正中间位置的数据是哪一个？如果按照从大到小的顺序加以排列呢？你发现了什么？

（3）如果又加入一名男生的身高数据173cm，新的一组数据中有多少个数据？如果将这组新数据按照从小到大的顺序加以排列，那么排在正中间位置的数据是哪几个数？如果按照由大到小的顺序加以排列呢？

【设计意图】《课标（2011年版）》指出“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”.本节教材以学生熟悉的生活情境为素材，通过“观察与思考”设计了数据整理、描述数据和分析数据的系列活动，让学生亲自动手把一组数据按大小次序排列，找出处于中间位置的数，引出中位数的定义.

在问题（1）（2）中有15个数据.不论将这组数据按照从大到小还是从小到大的顺序排列，排在正中间位置的数据只有一个，且都是169cm.在问题（3）中，有16个数据，不论按照从大到小还是从小到大的顺序将这组数据加以排列，排在正中间的数据总有两个，分别是169cm和170cm.这两个数据的平均数是169.5cm.

学生通过解答上面三个问题，不但能体会到中位数可以描述一组数据的一般水平和集中趋势，而且明确求一组数据的中位数必须掌握两个要点：其一，先把被考察的一组数据按照大小顺序重新排列；其二，当数据的个数为奇数时，位于正中间位置的数据就是中位数，当数据的个数为偶数时，位于正中间位置的两个数据的平均数就是中位数.中位数不一定是这组数据中的某一个数，每一组数据只有一个中位数.在学生认识到这一点后，教材及时给出了中位数的概念及具体求法.

3.实验与探究活动.

数学实验与探究是指学生以实验问题作为探究内容，在动手操作、实践、试验等基础上发现新问题的学习活动.根据《课标（2011年版）》提出的“为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断”要求，对于一些能通过动手操作得出的结论，我们根据课程内容，结合学生的实际接受能力，设计一些具体的、可操作的问题，使学生经历操作、观察、分析、讨论、探究、归纳、猜想等活动，在经历这些活动的过程中，发现有关的结论.

案例3：线段的垂直平分线的性质的探究过程.

对于线段垂直平分线的性质，教材是用下面的问题引导学生进行“实验与探究”活动的：

（1）在纸上作一条线段AB（如图2①），通过对折使端点A与端点B重合.将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN，直线MN与线段AB的交点为O（如图2②）.你有什么发现？

图2

图3

（2）如图2②，MN是线段AB的垂直平分线，在MN上任意取一点P，则点P可能有两种情况：当P恰是MN与线段AB的交点时，由MN平分AB可知PA=PB；当P不在线段AB上时，连接PA与PB（图3）.把这张纸再沿直线MN对折，PA与PB重合吗？为什么？由此你能得到什么结论？

（3）反过来，到线段两端距离相等的点是否都在线段的垂直平分线上？当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知P是AB的中点，此时点P在线段AB的垂直平分线上.当点P在线段AB外时，如果PA=PB，你能说明点P在线段AB的垂直平分线上吗？

（4）已知线段AB（如图4），你能根据（3）中的结论，用尺规作出线段AB的垂直平分线吗？与同学交流.

图4

【设计意图】为了引导学生学习、探究线段的垂直平分线的性质，我们设计了以上四个问题.问题（1）的目的是引导学生探究线段的轴对称性，进而给出线段的垂直平分线的定义.问题（2）是引导学生综合运用合情推理和演绎推理，探究线段的垂直平分线的性质.线段的垂直平分线上的点P与线段AB有两种位置关系，并且推理的依据也不相同：当P在AB上时，推理的依据是垂直平分线的定义；当P不在线段AB上时，推理的依据是线段的轴对称性质.正因为如此，这个问题才分两种情况讨论.问题（3）将问题（2）向相反方向探究.通过对这两个问题的探究得到的线段的垂直平分线的两条性质，是同一事物（线段的垂直平分线）的两个方面，二者的涵义是不同的.“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，揭示了线段的垂直平分线上的点的共同属性，即这条垂直平分线上的任何一点都到线段两端的距离相等，无一例外，也就是说，在线段的垂直平分线上的点，不掺杂一个不具有这种性质的点，数学上把这种性质叫作纯粹性.“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”是指线段的垂直平分线包括了所有满足到这条线段两端距离相等的点，垂直平分线外的任何一点到这条线段两端的距离都不会相等，数学上把这种性质叫作完备性.由于线段的垂直平分线同时具有纯粹性和完备性，因此，可以把一条线段的垂直平分线看作是到这条线段两端距离相等的点的集合.学生能感悟到这一点，说明不仅掌握了线段的垂直平分线的性质，而且积累了探究的经验，为后面探究角平分线的性质奠定了基础，也为将来进一步学习数学提供了可借鉴的方法.问题（4）的目的是引导学生探究用尺规作一条线段的垂直平分线（这是一个基本作图）.学生通过思考将会发现，在作图过程中，为了作出到已知线段的两个端点距离相等的点M、N，所作的弧要求半径大于AB，只有这样所作的两段弧才能相交.

学生经过上述探究活动，不仅发现了线段的垂直平分线的性质，而且形成了探究的技能，积累了开展探究活动的经验.

青岛版教材对于新知识都是结合具体的学习内容，精心选取合适的学习素材，以此引导学生开展“观察与思考”“交流与发现”“实验与探究”等系列活动，在活动的过程中探索得到的.这种设计就从“源头”上改变了长期以来，数学教学只注重知识的传授，忽视知识的发生过程，不讲背景和过程，把结论硬塞给学生的现象，从根本上解决了“学生学得快，忘得也快”“一听就会，一做就错”的问题.

针对上面三个栏目，教育部基础教育课程教材专家工作委员会给予充分肯定，并给出了书面审查建议：

教材设计了“观察与思考”“实验与探究”“交流与发现”及“挑战自我”等栏目，积极鼓励学生探索发现，感受数学来源于生活，注重了“四基”培养.

二、多角度设计数学知识的应用活动

《课标（2011年版）》指出“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现‘问题情境─建立模型─求解验证’的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”.

关于数学知识的应用，教材主要是通过以下两个活动来完成的：

1.问题解决活动.

教材在体现“过程性”原则时，除了用前面所述的“三个栏目”突出知识的形成过程外，还特别重视知识的应用过程.对于所有的教学内容，在引导学生探索和发现新的数学结论后，我们都及时设计了运用新知识解决问题的活动.例如，学习了普查和抽样调查的知识后，安排学生上网查询第六次全国人口普查的有关资料；学习了三角形全等的知识后，设计了测量不可到达的两点之间的距离问题；学习了解直角三角形的知识后，引导学生测量某建筑物的高度等，类似这样的活动，教材都会结合“恰当”的知识点及时要求学生去做.

再如，七下“10.4列方程组解应用题”之后共设计了38个通过建立方程组模型解决实际问题的题目.

案例4：你能设计几种购买方案？

某电脑公司销售A、B、C三种型号的电脑，每台售价分别为6000元、4000元、2500元.时代中学计划投入100500元经费用于购买其中两种型号的电脑，共计36台.你能设计出几种不同的购买方案？各是什么方案？

【设计意图】《课标（2011年版）》已经把“模型思想”等作为课程内容的核心之一，并指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”.这个问题来源于生活实际，有利于培养学生的学习兴趣，调动其学习积极性.学生通过建立方程组模型，利用数学知识很容易完成解答.学生在经历运用方程组知识解答这个实际问题的过程中，进一步体会到方程的本质，加深了对方程知识的理解和掌握、积累了开展数学建模活动的经验；还提高了学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，有利于应用意识和创新意识的培养，对于提高学生的数学核心素养具有重要的意义.

2.综合与实践活动.

《课标（2011年版）》在“课程内容”中提出了四个部分，其中之一为“综合与实践”，并且指出“每一册教材至少应当设计一个适用于‘综合与实践’学习活动的题材，这样的题材可以以‘长作业’的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动”.

我们在每一册教材中都设计了一个适用于“综合与实践”学习活动的题材（在六册教材中共设计了七个综合实践活动），这样的题目以“长作业”的形式出现，目的是以此将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动.

案例5：由1拃长引发的探索.

这是在八年级上册第4章“数据分析”之后安排的一个“综合与实践”活动.本综合实践活动分为三个环节：

第一，对每位学生的1拃通过实际测量采集原始数据.用“实验与探究”针对如何确定1拃长度的意义，设计了6个活动，引导学生经历估计和度量右手、左手大拇指与中指、食指、无名指、小拇指指尖的距离的过程，感受对于通常人们所说的“1拃”作出一个统一规定的必要性和合理性，并且用“拃”作单位进行实际测量，体会“拃”在生活中的作用.

第二，对调查得到的数据分男生、女生进行整理.用“观察与思考”栏目要求学生用每人选定的“1拃”的长度作为数据，分别统计全班男、女生1拃长度的平均数、众数、中位数，选定合适的统计量作为代表，并判断自己的一拃长在全班数据中所处的位置.

第三，对调查获得的数据的集中趋势和离散程度进行分析.为此，教科书用“小资料”栏目引入另一个统计量——极差.极差是一组数据中最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度最简单的统计量之一.这是在原有知识基础上进行的拓展，扩充了学生的知识面.这样安排为学生提供了一个探究空间，发展了学生自主学习的能力，对于其创新意识的形成具有重要的价值.

【设计意图】教科书安排本活动的主要目的是：（1）让学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，丰富统计活动的经验，发展学生的数据分析观念，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法；（2）了解描述一组数据的离散程度的极差、极差系数和方差系数的意义.

学生在参加这个综合实践活动的过程中，各种数学能力几乎都要用到，长期进行类似的训练，学生的数学核心素养将得到大幅度的提高和发展.

青岛版教材主要是从以上两个方面落实“过程性”原则的，这两个方面涉及的数学活动形式是多种多样的（如观察、试验、猜测、验证、推理、交流、抽象、概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思构建等）.希望大家认真研读教材，不断加强教学研究，努力为实现《课标（2011年版）》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念作出自己的思考与探索.

1.李树臣.中学数学课程内容选取的原则［J］.中学数学（下），2010（3）.

2.李树臣.数学教学过程化的4个常用策略［J］.中国数学教育，2010（6）.

3.李树臣.数学教材应充分体现知识的形成过程——以青岛版七年级教材为例［J］.中学数学杂志，2012（8）.

4.李树臣.注重综合实践活动，培养学生探究能力——兼对课题“黄金分割与五角星“的教学研究介绍［J］.中学数学（下），2014（10）.

5.李树臣.积极开展探究活动，提高学生数学能力［J］.中学数学杂志，2016（8）.

6.李树臣.认真研读课程标准，加强知识技能教学［J］.中学数学杂志，2016（10）.

7.李树臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七～九）编写的原则之一［J］.中学数学（下），2016（12）.

8.李树臣.认真研读课程标准，教会学生数学思考［J］.中学数学杂志，2016（12）.

9.李树臣.认真研读课程标准，强化问题解决教学［J］.中学数学杂志，2017（2）.

10.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.