新问题新情境新视角——2017年北京市海淀区七年级（上）期末测试特色试题赏析

☉北京中关村中学 杨爱青

新问题新情境新视角
——2017年北京市海淀区七年级（上）期末测试特色试题赏析

☉北京中关村中学 杨爱青

前不久刚刚结束的海淀区七年级（上）期末统一测试中，有不少优秀的原创题，特别是其中的第23、26、27题，通过给基础习题添加“新问题”，给基本模型创设“新情境”，给核心概念赋予“新视角”，为考生提供了一个发挥其创造能力的平台.笔者把对考题的深入思考和解读整理成文，与同行探讨交流.

一、给基础习题添加“新问题”

（2）若使求得的A的值与（1）中的结果相同，则给出的x、y的条件还可以是________.

赏析：把学生熟悉的常规问题作为第（1）问，在此基础上增加了第（2）问，一个开放性的问题.对于第（2）问，由于代数式A的化简结果为-6x+2y，因此，给出的x、y的条件可以是与题目（1）中不同的x、y的具体值，也可以直接给出x和y之间的关系-6x+2y=4或其等价形式.找与题目（1）中不同的x、y的具体值，可以先给出x（y）的一个具体值，然后代入-6x+2y=4，把问题转化为一元一次方程去求解.

第（2）问的开放性问题还可以如下设计：

这样的设计可以帮助学生体会代数式求值的本质含义，领悟代数式的结构对其求值的影响，并通过对问题的解答，培养学生的发散性思维和创新意识.

二、给基本模型创设“新情境”

考题2：（第26题）如图1，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求.

已知磨损的麻绳总长度不足20米.只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF.

请你按照要求完成下列任务：

（1）在图1中标出点E、F的位置，并对如何确定点E、F作出简要说明；

（2）说明（1）中所标EF符合要求.

图1

赏析：这道题以真实情景“拔河比赛用绳”为背景，贴近学生生活实际，图文并茂符合初一学生的年龄特点.题目模型明确，难度适当，在立足基础的同时，着力内容创新，考生只有具备了相应的思维方法，才能应对本题的新情境、新变化.图2中的模型是本题考查的重点，它广泛地蕴含在教材的例、习题之中，因此本题给学生以亲切感，题目的解题思路和方法在学生的学习过程中都有“本”可循.

图2

试题入口较宽，思路多，不同能力层次的学生可以寻求到不同的解题思路.

对于第（1）问，首先，要找的“线段EF”需满足两个条件，一个是长度为AB的一半，另一个是无磨损，也就是说点E、F都要在线段CD上，其次，找“线段EF”的工具有限制，只能用麻绳AB和剪刀（剪刀只能用于剪断麻绳）.用叠合法找AB的中点可以得到AB的一半，这一点学生非常熟悉，而怎么做到EF既是AB的一半又要点E、F在线段CD上呢？这时仅仅能熟练地做出见过的题目和题型就不够了，要能灵活地运用所学知识将其化归为熟悉的问题来解决.这里解决问题的一个策略就是“两个条件”一个一个地来，一般情况下我们先从容易的那个入手，按照这样的思路解题有两类方法，一类是“先剪拼再用叠合法找中点”，另一类是“先用叠合法找中点再剪拼”，具体的解法见方法1、方法2和方法3.

方法1：如图3，剪下AC拼在AB的延长线上，使点A与点B重合，点C的落点为C′，对折得线段CC′的中点F，点E与点C重合.

方法2：如图4，沿点C折叠，点A的落点为A′，剪下BD拼在AA′的延长线上，使点D与点A′重合，点B的落点为B′，再对折得线段B′D的中点F，点E与点C重合.

方法3：如图5，对折得线段AB的中点M，剪下AC拼在AM的延长线上，使点A与点M重合，点C的落点为F，点E与点C重合.

方法1、方法2、方法3是“一个线段中点模型”的应用，相对来讲更容易些，从阅卷反馈来看也是绝大多数学生的做法.

除了上面的三种方法，还可以应用“两个中点模型”来解决问题，具体的解法见方法4、方法5.

图3

图4

方法4：如图6，沿点C折叠，点A的落点为M，对折得线段BM的中点F，点E与点C重合.

方法5：如图7，沿点C折叠，点A的落点为A′，沿点D折叠，点B的落点为B′，M为线段A′B′上任意一点，对折得线段AM的中点E，对折得线段BM的中点F（方法4是点M与点A′重合时的特殊情况）.

方法1至方法4相对来说操作简单，更接近学生现阶段的思维水平，而方法5相对前面4种方法更具一般性.

针对第（1）问不同的“操作方法”，第（2）问都有相应的证明方法与之对应，这里就不一一赘述了.

图6

图7

三、给核心概念赋予“新视角”

考题3：（第27题）在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点.对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点.例如：图8中，点M表示数-1，点N表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点.

图8

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点.

①若a=0，则b=_______；若a=4，则b=_______；

②用含a的式子表示b，则b=_______.

（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度.对P、Q两点作如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到P1，P2为P1的基准变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到P5、P6、…、Pn.Q1为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q3为Q2的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，……，依此顺序不断地重复，得到Q5、Q6、…、Qn.若无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是4，则n=_________.

赏析：这道题为整卷的最后一题，在此题的解决过程中体现了浓厚的数形结合思想.试题着眼于学生已有的“绝对值、相反数及线段和线段中点”的经验，让学生经历认识基准变换点，探求互为基准变换点的两个点的坐标规律，解决简单问题，解决综合问题的过程，并通过这样的过程，让学生在潜移默化中种下数形结合的种子.

试题的三个问题逐层深入，前一个问题是后一个问题的铺垫，第（1）问是引导学生阅读，帮助学生理解“基准变换点”，为第（2）问、第（3）问利用“基准变换点”解决问题作必要的准备.第（1）问、第（2）问比较简单，这里就不再赘述了.第（3）问，一方面可以由前面得到的互为基准变换点的两个点的坐标规律“和为2”，从“数”的角度找寻P、Q两点的变换规律；另一方面，由“基准变换点”的概念可知：基准点为连接互为基准变换点的两点所得线段的中点，因此还可以从“形”的角度找寻P、Q两点的变换规律，其解决问题的思维过程大致如下.

思路1：设P点表示的数为p，则Q点表示的数为p+8.

由于无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是4，因此有：

所以n=4或12.

思路2：

P点：

图9

图10

同理：

图11

由于无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是4，因此有：

图12

所以n=4或12.

从上面的思维过程可以看出，第（3）问的解决要依赖于学生对问题的数学本质的理解，靠记住一些结论、生搬硬套显然是行不通的.

题目的一些拓展延伸：

在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点A与点B不重合.

（1）若a、b互为相反数，则a+b=0；

（2）若A、B两点互为基准变换点，则a+b=2；

……

（3）若A、B两点到点C（表示数c）的距离相等，则a+ b=2c.

实际上，这里的（1）、（2）是数轴上中点坐标公式的特殊情况，后面还可以把这里的中点坐标公式进行推广，从而得到平面上的线段中点的坐标公式.

四、一点感悟

给基础习题添加“新问题”，给基本模型创设“新情境”，给核心概念赋予“新视角”，这样的试题，一方面它们源于教材，其解题思路和方法在学生的学习过程中有“本”可循；另一方面，它们又打破了命题的模式，在考查基础的同时，较好地考查学生的开放性思维、问题解决能力和创新能力，符合当前考试改革“新”“宽”“活”的趋势和要求，对我们的教学有着积极的导向.