教材的结构-功能分析方式探索——基于数学教学设计的视角

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

教材的结构-功能分析方式探索
——基于数学教学设计的视角

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

数学教学设计是一项结构系统性整体工程，它的构成要素主要体现在互相关联的三个侧面：理解要传授的具体数学知识结构所呈现的环节及其联结中介的可能组成序列；把握学生发生数学认识的心理环节（呈现的是观念形态）及其过渡性中介的可能组成序列；通过创造性工作找到关联这两组序列的契合点，以实现它们之间的同构（同构是数学概念，指两个集合中的元素一一对应），如图1所示.这就是通常所说的教学设计应基于“教材分析”、“学情分析”及找到关联这两项分析结果的纽带（简称“关联分析”）.本文重在探讨教师“教材分析”的价值、方式与途径.

图1数学教学设计框架图

一、教材分析涵义的界定

所谓教材分析，望文生义就是对教学材料（即所要传授的数学知识）的理解与认识，指教师将在一段时间内（比如一课时、一单元时段或一学期时段）将要传授的教学内容（数学知识）分解开来，认识它的每个部分或每个层次要素及其关联过程的实质，在此基础上通过综合，获得对写进教科书中的知识结构整体的理解与认识的思辨活动.由此，我们发现，教材分析的重要目标体现在两个互相关联的方面：其一，确定单个具体的数学知识点的特性及发生这一知识时学习者凭藉的独特认知方式；其二，确定知识点之间的互相联结组成的知识结构的关联方式及对这些关联方式发生认识的心理活动方式.

二、教材分析重在揭示知识中利于学习者发生认识的倾向性

我们知道，写进数学课程标准中的数学知识都是在数学发展史上曾经构成对人类智力的挑战，但是已经被人类的聪明才智彻底征服并解决了的（它不是数学家目前正在研究的问题，而是已成定论性的知识结果），因此，知识中就不仅内含了人类自己的认识得到的确定成果，并且也或深或浅、或多或少地内含着知识原创者发生认识时思维展开的认知方式痕迹.但是，这两者都需要通过教科书的编制及经由教师对教科书的解读、理解与认识，经过教学设计的处理，才能转化成课堂上正面影响学习者的资源，以利于发挥知识的教育价值.因此，作为教学的知识就具有两方面相互关联的特征：

其一，写入课程中的单个具体的数学知识点具有相互关联的三个特点：（1）组成这个知识点的核心思想应该明确而具体（但是，实际上受到诸多方面的限制，教科书或教师教学用书都难以达到这一点）；（2）知识原创者对这一知识点的核心思想已经形成了规范性表达（教材通过字斟句酌地描述与刻画能够做到这一点）；（3）数学知识的核心思想通过其规范性表达形成了启发性成分，应该被教师所体会与理解（启发性成分也是教科书难以明确表达出来的，需要教师结合学科文化与教学经验的支持，加深对教科书中的知识背后的关于数学知识的知识——近乎于元认知——的认知）.这些特点隐含着知识原创者对于具体知识点的特定认知方式，在数学教学中具有非常重要的价值.

其二，每一个具体数学知识点不可能独立存在，它既是前在的数学知识的必然产物，即是以学习者（事实上，存储在某种媒介中的作为外化的客观数学知识也可以依此类推）前在的数学知识为基础而发生的，又是产生后面新数学知识的基础，或者说每一个数学知识点都处在生生不息、源远流长、环环紧扣的知识点（或体现在学习者心理活动中）序列之间的关联环节之中，而不可能孤立地存在，这形成了数学知识之间的结构性.正是如此的结构性使新数学知识总是孕育于旧有的知识之中成为可能.于是，个体发生数学认识就可以利用这种结构性，通过各种各样的线索，从学习者所面临的外在信息与已经存有的旧数学知识的结合中产生新知识（将外在信息数学结构化的过程，扩展了数学知识的范围）.

数学知识的核心思想的独立性与知识点之间的结构性的共存特征，注定了数学知识具有自身传播的内在动力.换句话说，对于渴望掌握数学知识的学习者而言，当数学知识与学习者的智力结合时，数学知识在学习者的认知结构中便具有了自我繁衍与自我展开的能力（称之为数学知识的“自展性”，教材分析的过程主要体现就是教师悉心研究数学知识的“自展机制”的过程）.在学习者发生数学知识时，这些都不断提示（乃至于规划）着主体的认识方式展开的大致轨迹，从而可以因势利导地实现数学教育目标.如此分析，我们发现，数学知识具有利于学习者学习的心理倾向性.由此可知，有效的数学教学设计的产生一定不能背离利用数学知识的这种利于学习的倾向性，教师的首要任务就是因势利导，引导学生从已经存有的数学现实与新学习材料的结合中产生新的数学知识.

因此，一般来说，数学教科书的编制、教师的教材分析都应该从有利于学生学习数学的自在倾向性出发（确实，一轮又一轮的数学课程改革，特别是我国数学教育的面向国际视野，产生的结果是教科书的编制经由许多学科专家与教育专家的思考与实践，它力图采用符合于学生理解数学知识的心理结构机制的方式表征数学知识，但现实中总是存在着不尽如人意的瑕疵），这样才能更好地发挥数学知识的教育价值：萌生数学思想，生成与再生数学观念，形成数学能力（特别是学习者自学数学的能力），并有利于从数学思想、观念、能力的发挥中析出具体的解决问题的数学方法.

三、数学知识的结构-功能分析

教材分析可能具有多种方式，其中，结构-功能分析方式是其中的基础的也是重要的分析方式.所谓数学知识的结构-功能分析，就是要采用系统方法论观点去理解与认识写入课程标准中某个（或者是某章）既成的数学知识，认识这个知识结构中的各要素之间的搭配或安排，体会它们的环节及其联结中介所构成的要素系统结构的合理性，由它所生发的功能的充分性，探索易于发挥知识结构机能的特征.一个数学知识总是经由人类的思维活动将相关要素组构成了一个实体，这个实体以一种完整的面貌呈现在人们的面前，因此，它的深层次结构的真正内涵就不可能一览无遗地呈现出来，成为“显而易见”的直白状态的形式，它的功能更是未曾转化为实际效果、尚属“潜在状态”.教材分析就是理解与认识由要素构成的结构及其可能发出的功能之间内在关联的纽带.

由于呈现在教科书上的知识结构及其功能基本上是处于“潜在状态”的文字表达的形式中，教师在利用数学知识资源促进学生发展的整个教学环节中，必须对进入数学课程的知识作多方位探究：它的外在表象形式、深层本质结构，两者之间可否建立真正（非人为）的联系.大多数情况下，表象形式不能直接表征知识的本质结构，它喜欢以扭曲的方式（本质结构藏头漏尾地借助于表象形式）显露出来，这就是学生发生数学认识的疑难所在.但是，表象终究是引领学习者入门的向导，因此，重要的是，教师必须找到从数学化信息的表象形式到数学知识本质结构的认识过程所需要的纽带、契合学生发生数学认识的认知方式，使这两者形成心理意义上的关联.

在教学设计时，知识信息的表象形式的脉络轮廓、中层结构与深层结构都可以作为教师引导学生发生数学认识的凭据.于是，问题就出现了，只有依据把握深层知识结构的教学设计，才是最有价值的、真正有意义的，即通过实施如此的教学设计，学生在获得形成数学知识的核心思想，进而转化为规范性表达的过程中，获得知识内含的启发性成分，这一整套过程标志着学生真正地发生了数学认识.而依据中层结构的把握肯定难以形成数学知识的核心思想，因此，这种教学势必会有缺陷，学生在大多数时候难以理解结构的意义，也就不能确定其功能的发挥.依据表象信息形式的脉络轮廓所形成的教学设计的实施，可能将数学知识采用记忆或强化训练的方式强加于学生.

但是，由于结构总是与其呈现的内容（组成结构的元素）相联系，功能也总是与所达成的目的相联系，于是，这种以结构-功能关联的分析过程，又势必会在一定程度上牵涉将外在数学化信息转化为数学知识的过程时人类发生认识的心理活动过程，即在外在信息数学化的过程中契合于组织信息的主体的活动目的（人的主观赋予的，如审美、动机、情感的需要与实现等）的心理过程机制，其实对促进学生发展而论，这些牵涉个体发生数学认识的心理成分应该是在教材分析时追求的重要目标之一，因为，这是作为结构化的数学知识促人发展的真正重要的地方.因此，教学设计时的教材分析（主要体现于其知识结构-功能分析）应包括以下一些具体内容：

（1）理解与认识所要传授的数学知识结构的构成要素（由于知识结构具有层次性，这种构成要素总是存在的），这些要素构成了知识结构的硬件.

（2）理解与认识数学化信息组构成数学知识的心理活动过程（包括体悟数学的核心思想、它的启发性成分与规范性成分的萌生及联结过程），这些要素构成了知识结构的软件.

（3）理解与认识构成知识结构的硬件与软件及与其他要素之间存在的联结方式及纽带（发现这种纽带绝非易事！），各种要素在知识结构中处在怎样的地位上，这些主客观要素或者不同位置的要素是如何联结的.

（4）理解与认识这个作为结构体系的知识如何体现它与发生认识的主体的心理活动环节及其过渡性中介之间互相适应的条件与限制.

（5）理解与认识具体的知识结构体系可能产生的教育价值，如数学知识在实际应用、增进智慧、形成有价值的非智力心理品格与道德品格等方面的作用.

总之，作为教学的数学知识的结构-功能分析方式的展开，也离不开“学情分析”与“关联分析”的相关过程的联合作用，因为，教学就是通过伴随引导学生发生数学知识，试图促成学生萌生优秀的心理品格，知识只是某种意义上的载体，真正起作用的是将知识中所隐含的“使人之为人”的先贤们的心理品格植入一代新人的意识结构之中.因此，“教材分析”总是具有目的性的，其中最重要的目的就是力图借此获得透过学生的认知方式发生数学认识的教学流程，这就势必要牵涉学生的心理活动过程（由“学情分析”提供）、知识环节及其联结中介与学生的发生认识的心理环节及其过渡性中介的契合（由“关联分析”提供）.

学生发生数学认识的自展机制要求教师在教材分析时设法针对具体的知识内容，首先揭示其核心思想，它其实隐藏在教科书表达的字里行间，需要透过教材分析过程来理解与认识.然而，在现实的数学教学设计时，大多数情况下，教师的“教材分析”出现了走马观花地看到知识的表层的现象性的脉络轮廓，而触及不了这种字里行间表达中所隐含的知识结构的本质.“教材分析”的结构-功能方式，对我们的教学设计提供了一条有价值的实践途径.

四、例示基于“教材分析”的结构-功能方式的有效教学设计

从前面的讨论中我们发现，“教材分析”的有效环节就在于：其一，从教科书的关于数学知识点的表述中离析出数学知识的核心思想；其二，找到能够支持这一核心思想外化为可以表达的数学知识的情境承载物（需要设计）；其三，引导学习者将数学知识核心思想通过学生自己的思维活动再次转化为规范性的数学表达；其四，学习者借助于核心思想不依赖于教师而进行自行表达的过程，吸收数学知识中隐含的发生知识的原创者认知方式的启发性成分的营养.我们以“探索直线平行的条件”的关键性疑难“三线十二角”问题为例，展示结构-功能方式的教材分析的有效环节的途径.

教师第一步从直线平行所要的条件（“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三个条件各自形成的判定）的教科书上规范性表达中，析出决定这三个结论的具有共性基础的要素，这就是“探索直线平行的条件”这个知识点的核心思想.我们业已知道，在教学设计中，这是非常重要的一步，它是决定着通过数学教学设计发挥知识教育价值成败的至关重要的因素.

事实上，教师如果仔细揣摩教科书的规范性表达的文字语言，通过结构-功能分析方式，就会比较自觉地发现，在这三个判定两直线平行的方法之中都有相同的一句话“两条直线被第三条直线所截”，这意味着什么？如果教师具有更加宽阔的视野，在严格的平面几何教程或者专著（例如《几何原本》）的论述中，对这句话中的“两条直线”命名为“被截线”，而将其中的“第三条直线”命名为“截线”发问（这样的命名难道是无意识的、随便的，没有什么价值吗？这是透过结构-功能分析方式，析取组成这一知识点结构的要素，然后，探查这些要素的功能），从这些思考中，教师发现，平行线的三种判定方法就在于在这三条直线的关系中，区分出哪两条直线是“被截线”与哪一条直线是“截线”的数学知识核心思想，至于何为“同位角”“内错角”还是“同旁内角”，都是为了判定两条“被截线”是否平行而对几对角的命名而已，那是十分简单的事了.

于是，这个问题便变成了在“三线十二角”中，确定有不同顶点的两个角之间的固定关系，就在于何为“被截线”与何为“截线”的问题了，接着教师需要理解与认识这个知识点中的两大要素“被截线”与“截线”各自所担负的功能，及其这种功能是如何体现的.那么，在教师的教学设计中，如何帮助学习者区分“被截线”与“截线”两者的功能呢？这其实可以归结为下面例1的问题.

例1如图2，∠1与∠2、∠1与∠3、∠2与∠3分别是怎样的一对角（“同位角”、“内错角”或“同旁内角”）？

决定这道题本质的数学知识核心思想就是对“被截线”与“截线”概念的理解，从而着力发挥这两个要素的功能.它的迂腐的规范性表达就是“两条被截线被一

条截线所截”，没有凸显出“被截线”与“截线”两大要素在这个知识结构中的功能.探究区分“被截线”与“截线”各自功能的标志的过程就将隐含的数学知识核心思想显性化，从中可以获得知识发生的启发性成分，这种启发性成分决定应用如此的数学知识的广度、深度，也是学生理解平行线三项判定时内在心理过程的基础，而不必采用那种“事倍功半”的、通过穷尽各色各样的特殊变式图形的办法解决新问题.

图2

这样问题就归结为找到一种简约（而不简单）的方法来区别“三线”之中的一条“截线”与两条“被截线”功能的标志了.下面是笔者的一节公开课课堂教学关键环节的实录：科书的字里行间的规范性表达中析出知识的核心思想，再经由核心思想转化为学习者自己的规范性表达，从中生成了启发性成分，使学生深层次地理解知识，在理解的基础上运用数学知识，由此可以生成深度数学经验.深度数学经验事实上不同于简单地接受外在他人的经验，而是形成了学生对自我的开放：感知的扩展、意识的觉醒、智慧的生成.学生借助于这种自我开放，超越已经形成的过去，并用新的方法，依据新的观念，来接触世界、认识自己、营造未来.教科书的编写的缺陷在于就知识而论知识，它只是关注了数学知识外显的表象，而没有发掘决定知识的深层次结构的本质——核心思想，从而找到体现核心思想结构中的要素，从这些要素功能的发挥中区分“被截线”与“截线”的标志，如此就不能鼓励学习者吸取从核心思想转化为规范性表达过程中的启发性成分的营养.

师：（前在知识：通过问题情境设计，学生建立起了“被截线”与“截线”概念）如何解决这个问题？

生1：图2中，弄清楚组成这两个角的三条直线中哪一条是“截线”，哪两条直线是“被截线”……

师：一个很好的想法.如何将图2中这三对角各自的“截线”与“被截线”区分开来？

生2：取最简单的图形，如图3，对∠4和∠5而言，直线c是“截线”，直线a、b是“被截线”，显然，∠4与∠5是一对内错角……

生3：直线a是∠4的边，但不是∠5的边；直线b是∠5的边，但不是∠4的边；直线c既是∠4的边，又是∠5的边.直线c是“截线”，直线a、b是“被截线”（两要素在组成相关对应角中的功能不同，利用它提示了这一知识点的核心思想）.

生4：我们可以获得如下规律（分类的一种标准）：在“三线十二角”中，要讨论的有不同顶点的两个角其公共边是“截线”，单独作为两角中某一个角的边的两条直线就是“被截线”.

师：大家运用这一规律解决问题.

这个例子，经过“教材分析”的结构-功能方式，从教

图3

五、简要的结语

数学教学不是就数学知识而论数学知识，而是通过教学设计促使学生萌生数学思想的过程，在将学生萌生的数学思想转化为规范性的表达、形成数学知识的过程中，体悟数学知识核心思想的启发性成分，从而生成深度数学经验，实现数学资源的教育价值.就数学教学设计而言，教师从教科书中的表达中析出数学知识的核心思想起着关键性的作用，因而是最为重要的第一环节，而教材分析是析出数学知识核心思想的基础，因此，我们可以说，提高数学教师教材分析水平在提高数学教学设计的有效性中起着至关重要的作用，而结构-功能方式的分析具有首当其冲的地位，对此，我们要思之再思，慎之又慎.

1.郑毓信.数学教育哲学［M］.成都：四川教育出版社，2001.

2.张昆，李伯春.关于数学课程目标体系设置的思考［J］.新课程教学，2013（3）.

3.张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究［J］.中国教育学刊，2011（6）.