探析解决数列不等式问题的函数策略
2017-04-20浙江省绍兴鲁迅中学312000
浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)
陈少春
探析解决数列不等式问题的函数策略
浙江省绍兴鲁迅中学 (312000)
陈少春
数列是一个定义在正整数集(或其子集)上的特殊函数,它丰富了学生所接触的函数概念的范围,引导学生利用函数去研究数列问题,能使解数列的问题更有新意和综合性,更能有效地培养学生的思维品质和创新意识.因此我们在解决数列问题时,可以从它的源头、本质——函数的角度去解决它,充分利用函数的有关知识,以函数的概念、图像、性质为纽带,架起函数与数列之间的桥梁,揭示它们之间的内在联系,比如数列的放缩、单调性可以借助函数的单调性方法放缩、判断,数列的最大(小)项可以利用函数图像的直观性来比较,从而有效地解决数列不等式问题.下面笔者通过具体的例子尝试从函数的角度处理数列不等式问题,希望对考生处理数列问题有些许帮助.
一、函数单调性处理数列递推问题
数列和的不等式问题的矛盾在于数列相邻两项的递推关系的发现,有时候从函数单调性角度去入手则事半功倍.
③综上所述,该命题对所有的正整数n都成立.
(1)(2)证明略.
二、函数恒成立处理数列有界性、求和问题
找到数列任意两项之间的关系,再分离变量转化成函数恒成立问题是解决数列有界性的关键.
例3 (2016年浙江理20)设数列{an}满足
(1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*;
|an|-2≥(|a1|-2)·2n-1,所以|an|≥
2n-1(|a1|-2),n∈N*.
例4 已知数列{an}的前n项和Sn,满足an+Sn=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
例5 已知数列{an}的前n项和Sn,满足an+Sn=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
三、函数图像处理数列最值问题
函数图像的直观性可以为我们解决数列的最值问题带来很多方便.
例6 (2012年浙江理7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是( ).
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项,则d<0
C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意的n∈N*,均有Sn>0
D.若对任意的n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a10,a30