思维从曲折走向自然*——以一道高考压轴题探究为例

福建省闽清县教师进修学校 (350800)

黄如炎

思维从曲折走向自然*
——以一道高考压轴题探究为例

福建省闽清县教师进修学校 (350800)

黄如炎

数学是自然的，数学是清楚的[1]，因此数学教学应是清晰明理的．由于现行数学文本(包括教材、教辅、报刊等)的学术形态隐去了数学概念、结论、应用的形成与发展过程，以及应试教学重结果轻过程的行为，常使学生感到数学教学中有些 “规定”没有规矩，有些推理不讲道理，有些结论强加于人，这些问题严重阻滞了学生思维的发展．数学教学要遵循学生思维的自然形成，教师要对数学文本进行精心创作和深度开发，要根据学生已有的认知结构和学习经验，通过教学情境创设和导思探究活动，在一波三折，峰回路转，起伏跌宕的数学思维历程中，挖掘文本中看不见的数学发现、数学创造的思维过程，揭示蕴含在知识背后的核心素养、数学本质和思想方法，让思维从学生的头脑里自然地流淌出来．

高考压轴题蕴含着的丰富的数学核心素养的教育价值，承载着“四能”(发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力)的考察功能，对学生解题思维的形成极具挑战性，是培养发展学生思维的最好素材．本文以2016年全国高考(Ⅰ)卷理科数学压轴题的探究为例，谈如何让学生的思维从曲折走向自然．

1 标解疑惑

题目 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点．

(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)略．

命题组标准解答：f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(ⅰ)设a=0，则f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一个零点．

(ⅲ)设a<0，…，f(x)不存在两个零点．

综上,a的取值范围为(0，+∞)[2]．

2 问题探究

基于学生存在的疑惑，笔者以“当a>0时，判定函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2零点的个数”为问题，开展导思探究活动，教学过程如下．

师：请同学们回顾一下研究函数零点问题的经验．

众生：应用函数零点存在定理，注意数形结合，常用导数研究函数的图像和性质．

图1

生1(约2分钟思考与画图)：f′(x)=(x-1)(ex+2a)，当a>0时，f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(-∞，1)上单调递减，f(1) =-e<0．如图1，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上各有一个零点，故a>0时，f(x)有两个零点．

师：大家同意她的解法吗？

生2：怎知道f(x)图像左右两侧都是向上无限延伸？

生3：似乎理由也不够充分，根据零点存在定理，要在区间(-∞，1)和(1，+∞)上各找到一个数使其函数值大于零．

师：当x→±∞时，f(x)→+∞，说明生1所画图像正确．直觉有助于思维，但不能替代证明．

师：为什么寻找不到小于1的常数使其函数值大于零？能否从式子的形式结构进行研判？

师：分析的好！x不能取常数那该取什么呢？

生5：根据以往经验取x关于a的式子，如取x= 1-a<1，f(1-a)=-(a+1)e1-a+a3，此式也不能保证大于零，因为还含e1-a难以计算．

众生(尝试失败，感到山穷水尽疑无路)：取很多x关于a的式子都不能使其函数值大于零．

师：刚才我们的思维本质是寻找具体的x，当x<1且x为常数或x=g(a)时，f(x)>0．现在知道不可能了，那能否扩大寻找范围，如把寻找x=g(a)改为x

生6：为什么考虑寻找xg(a)？

师：“数缺形时少直观，形少数时难入微”(数学家华罗庚语)

生7：“数形结合百般好，隔离分家万事休”(华罗庚语)．由f(x)图像知当g(a)0不成立．

众生：一阵掌声．

生8：x<1时，怎样寻找x0？

师：当x<1时，看可否把不等式f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2>0化归为x

众生(思路再次受挫)：含ex怎化呢？

师：化繁为简，可考虑把ex放缩为简单的式子．

众生：掌声雷动．

师：生9把ex放大为简单的e避免了超越运算，我们为他的机智而喝彩，还有别的放缩方法吗？

师：同学们太了不起了，老师还没看到哪本书刊有这么自然优美的解法，你们发现的解法是原创！

生13：把ex放大为关于a的式子．考虑到f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2右边第二项含a，为使右边放缩为积的形式，令ex

师：是啊，可以考虑一般的情形．

生15(约5分钟思考与整理)：令ex0)，当x<1时，(x-2)ex+a(x-1)2>(x-2)ka+a(x-1)2=a[x2+(k-2)x+1-2k]．

师：棒极了，又是一种原创！

我还原了高考命题专家的心路历程，我也会高考命题了！

众生：掌声如潮，学生脸上露出前所未有的自信和喜悦．

师：思想方法比知识更重要，请大家总结今天的探究用到哪些数学思想方法．

众生：数形结合、化归与转化、分类与整合、函数与方程、有限与无限、具体与抽象、特殊与一般、分析法、综合法、放缩法、待定系数法、配方法、换元法，…

师：我欣慰的感到同学们逻辑推理，数学运算，直观想象，数学抽象素养在提升．

(在掌声和下课铃声中师生说“再见”．此“再见”不仅是礼仪用语更是学生心语，是他们对美好数学探究活动的期盼．)

3 教学体悟

3.1 自然方能内化

知识的内化如同生理上的消化一样，食物要经过加工烹饪和弯弯曲曲肠道的消化，营养才能被人体吸收．这种消化是曲折的也是自然的．自然的才能内化，内化了方能优效，这是教学不可违背的规律．为使学生的学习能“何由以知其所以然”，教师应对数学文本进行加工和创作，通过教学情境创设和导思探究活动，在一波三折、峰回路转和“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的数学思维历程中，引发学生的发现与创造．从而使数学课堂彰显了自然的本色，弥漫着自然的芬芳，让数学教学不是莫名其妙和强加于人．教学要力求自然，要揭示本质，让定义生成自然；展示背景，让概念形成自然；练习巩固，让目标达成自然；创设情境，让问题提出自然；归纳类比，让定理发现自然；探究分析，让解题思路自然；寻求联系，让章节过度自然；一题多变，让习题延伸自然；交流反思，让思想体悟自然．

3.2 导师贵在导思

发展核心素养要求学生应具有理性思维，批判质疑，勇于探究的科学精神．数学教育的根本任务在于发展学生的思维，让学生能用数学的思维分析现实世界．数学课堂的精髓是学生在教师引导下的深度思考．要引发学生的思维，教师要示以学生思维发展之道，课堂要变教为导，变学为思，以导达思，即教师要变为导师，导师贵在导思．课堂上教师创设问题情境，学生思考回答问题，师生对所答问题进行评价修正，引发学生进一步思考．学生思考过程中产生疑惑或思维碰撞或有助于问题解决的想法，教师给于点拨分析引导，学生再尝试探究直至问题解决．教师要能理解学生的思维基础，洞察学生的思维困惑，在思维的循循善诱上下功夫，精心创设思维引导语．导语要顺应学生原有认知结构、思维方式和学习经验，要贴近学生思维最近发展区和思维潜在发展区．导语要呈阶梯式一步一步通向目标，要有一定的思维度，能启迪学生的心智，学生深思熟虑后豁然开朗．教师可通过一系列追问来激活学生的思维，如“解决这类问题有何经验？”“问题是怎样发现的？”“你是怎样想到的？”“式子的形式结构是什么？”“式子有图形背景吗？”“问题的特殊情形是什么？”“问题的一般情形是什么？”“数学(思维)本质是什么？” “能否找到与它相似的问题？”“如何进行化归与转化？”“能否从更广范围看问题？”“还有别的研究视角吗？”“知识背后蕴涵着什么数学思想方法？”等．通过环环相扣，跌宕起伏的导思、探究、领悟、互助，引发了学生思维的自然流泻和灵动创新．

[1]刘绍学．普通高中课程标准实验教科书﹒数学1-5必修[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2]教育部考试中心．2016年普通高等学校招生全国统一考试试题、参考答案[M]．福州：福建省教育考试院，2016．

*本文系福建省教育科学“十三五”规划2016年度课题“高中数学课堂结课策略的研究”(立项批准号：FjjkxB16—169)的阶段研究成果．