极限思想在物理解题中的妙用

赵扬君

摘 要：极限思想是物理解题中的一种十分重要的科学思想方法，通常是把某一个物理量推向极端，即极大极小或者极左极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论的思想方法。在分析的过程中，没有对复杂的物理过程进行研究，从而大大简化了问题。利用某些特殊的物理过程或现象的独特作用，使得问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。本文对极限思想在高中物理解题中的应用进行了一定的研究，结合具体实例对极限思想的应用进行了详细的分析，对极限思想方法的概念进行了简单的界定，最后结合实例分析极限思想在具体应用中的必要条件与不足。

关键词：极限思想方法；极限状态；极值；物理解题

一、引言

极限思想是数学的一种重要思想，是微积分和分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。当这种趋势趋于某个值或者是某个微小过程时，我们可以近似地将这个量看成不变的量，这种处理问题的思想就可以称之为极限思想。

物理学是自然科学和现代科技的基础，而物理学发展的根基恰恰是数学，所以很多物理问题的解决方案和分析方法是数学方法和物理思想巧妙结合的产物。其中极限思想就是最为经典的数学思想之一，它的妙用能很好地解决多数物理问题。

物理中很多概念的引入就体现了极限思想，如瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率等，都是将时间间隔无限趋于零的状态下进行定义的。同样，很多物理公式和定律的推导也常常体现出极限思想的运用。如高中所学的向心加速度的推导公式。其中在推导过程中分析了时间差趋近于零时，物体做向心运动速度的变化情况，从而得出向心力垂直于速度方向指向圆心，以及计算公式。

在应用物理知识解决实际问题时总是要运用数学运算和数学推理，而且随着处理问题的难度深入，数学知识与思想就应用得愈多。在高中阶段的一些物理竞赛中，不乏出现这样一类问题：问题所描述的物理背景为之熟悉，所涉及的物理知识并不复杂，所以在接触问题之后能够比较容易地找到解题思路。这种思路往往是比较容易想到的，但是相对来说解题过程比较繁琐。如果竞赛中选手不够细心，在解题过程中数学工具运用不当或计算失误，导致最终的结果错误而前功尽弃。即使能够正确得出问题的答案，往往耗时也是比较长的。然而这类问题，运用极限思想能够更快更准确地得到答案，达到事半功倍的效果。在更为深入的科学研究中亦是如此。所以极限思想对开拓学生的思维以及提升解题能力是至关重要的。恰当应用极限法，往往在解题中另辟蹊径。从教学的角度来说，不能仅仅把极限法局限成一种解题的工具，而应把极限法作为一种学习物理知识，分析研究物理问题乃至其他科学领域的科学思想方法。

应用极限思想的解题方法，相对而言是比较不容易地想到的。所以极限思想是解题能力的一种体现，培养极限思想十分重要。渗透对学生极限思想方法的教育，可以帮助学生更清晰地看到隐藏在物理现象背后的物理实质，更加深刻地理解物理规律。

二、极限思想在中学物理中的应用

1.极限思想在简单选择题中的应用

在高中阶段，极限思想在选择题的应用尤为常见。对于这类试题，由于答案本身就在选项之中，所以可以结合选项加以分析。这类问题通常可以将某个物理量（在有效范围内）推向极端值，即极大、极小或者极左、极右。当这个物理量被推向极限后，变化的物理过程会处于某一特殊的状态，对此类特殊状态做出科学的推理分析，从而判断或导出结论。

例1：（2014课标全国卷l·17·6分）如图1所示，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡狀态。现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定的偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。与稳定在竖直位置时相比，小球高度（ ）。

（1）一般性解法

设橡皮筋的原长为，开始时系统处于平衡状态，小球受到的合力为零，橡皮筋处于竖直方向，橡皮筋悬点O距小球高度为 ；当小车向左加速稳定时，橡皮筋和竖直方向夹角设为θ，则有，橡皮筋长度为 ，可得橡皮筋悬点O距小球的高度变为，所以小球高度升高，选择A项，其余B、C、D三项错误。故答案选A。

（2）极限分析法妙解

在这个问题中，面对这样的物理场景，一般来说有两个画面是容易想到的：一是小球的运动轨迹是在一个圆周上的；二是小球的运动轨迹是一条直线，即小球始终保持圆周状态。这是两个特殊的物理状态，我们可以去研究何时会出现这样的状态。先假想橡皮筋的筋度系数k无限大，即橡皮筋变成了细线，不会发生弹性形变，小球运动轨迹在一个圆周上，出现了之前所说的画面一；小球升高，迅速否定B、C选项。再假想橡皮筋的初始长度为零，即系统初始状态下橡皮筋的长度为伸长量；此时橡皮筋的长度可以完全等同于力的大小，为拉力与重力保证合力水平，则小球处于水平，状态与皮筋的劲度系数无关，排除D选项。

例2：（2011江苏卷·1·3分）如图2所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，楔形石块侧面所受弹力的大小为（ ）。

（1）一般性解法

对m楔形石块进行受力分析，如图3所示，根据平衡条件和力的合成分解法，计算得出正确答案选A。

（2）极限分析法妙解

取侧面与竖直方向的夹角α趋近于零时，弹力就会趋近于无限大；同样我们把夹角α为零代入题中四个选项中，A、D两项符合要求，B、C两项答案不是无限大，能够迅速排除B、C两项，命中率瞬间提高50%。再取侧面与竖直方向的夹角为α=900时，m楔形石块受到的三个力均竖直，易知弹力；再把α=900代入题中四个选项中，只有A正确，故答案选A。

如例题所示，运用极限分析法，极限化一个物理变量，能够得到特殊的物理状态下的值，根据此值可以很轻易地推导出答案。特别是在例2这类选择题中，运用极限分析法即使不能得到具体的公式或者值，但是结合选项分析能够迅速得出正确选项，通常用来迅速验证答案的正确性。可以看出，极限分析法简化了问题，是一种直观、快捷、高效的科学方法。

2.极限思想在物理极值求解中的应用

高中物理中的求极值问题也颇为常见，是一类融合物理和数学知识于一体的经典问题。在物理状态发生变化的过程中，某一个物理量的变化函数可能不是单调的，它可能有最大值或者最小值，找到极限值对应的极限状态是关键。这类问题综合性强，技巧性高，难度较大。

例3：如图4所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板之间的摩擦因数μ，且μ>μ。这样，人能使铁板朝其跑动方向的最大距离L是多少？

解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度 。由于铁板移动距离，故v'越大，L越大。v'是人与铁板一起开始运动的速度，因此人应该以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦，根据牛顿第二定律得：F=ma2

所以：

对于这类极值求解的问题，找到极值对应的特殊物理状态是关键。在复杂多变的物理解题过程中，对某一两个极限状态进行分析是十分重要的。对于例3，经过分析得出“人应该以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑”这一结论是至关重要的，明白了这一点，之后的问题将迎刃而解。

三、极限思想适用性的思考

极限思想的妙用往往能大大简化问题，但是也会存在应用不恰当的时候。极限思想方法需要一个范围内的变化规律来代表另一范围内的变化规律，首先要求所研究的因变量随着自变量的变化规律在各自区间内保持单调。

如在例1中，橡皮筋的伸长量和受到的力为一次函数关系，故因变量在自变量的变化区间内保持单调。所以极限思想是适用的。假设橡皮筋伸长量与拉力成二次函数关系，即因变量不随自变量单调，则在整个变化过程中存在极值，却又不是临界状态，用之前的极限思想就会出现错误。

又如在例3中，若将木板与地面的摩擦视为零，则这个系统是内力作用，由动量守恒定律可得，当人跑到木板另一端停止时，木板也会停止，能使木板与人整体运动的动量来源于外界的冲量，即地面摩擦力对系统的冲量。在出现木板滑动的情况下地面滑动摩擦力是恒定的，由ft=mv，要使整体系统的动量最大，则人相对木板运动的时间要尽可能大，即人对木板的作用力刚好能使木板不运动。在木板不运动的前提下，人应该要尽可能速度最大。综上才得出“人应该以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑”的结论。而得出这一关键结论的前提，就是因变量V随自变量在两种情况下均有单调性。

四、结束语

新版人教版的高中物理教材对于极限思想方法在各个板块中均有渗透，足以体现新课程标准对于这一科学思想的重视。本文主要从中学物理解题的角度对极限思想方法进行了初步的探讨与研究：第一，对于极限思想的特点从数学角度进行了简单的概括说明，同时对具体的使用方法也进行了一定程度的概括；第二，从物理角度结合具体物理实例问题进行了详细分析说明，并从不同类型的物理试题中总结出极限思想的用法与优势；第三，对极限思想使用的必要因素结合实例进行了分析说明。

极限思想作为一种研究物理问题的方法，能够很好地培养学生的思维方式，利用所掌握的物理知识不断探究问题的本质，不仅能够帮助学生高效解题，更是对学生空间想象能力、逻辑判断能力的提升。

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