高考数学一题多解例题解析

2017-04-18马宝贵常艳艳

数学学习与研究 2017年7期

马宝贵+常艳艳

在2016年的高考数学试题中突出了对创新应用能力的考查，对学生的逻辑思维能力以及实践能力进行了深入的考查，体现出了数学本身所具备的理性价值和科学价值，重视的是对数学通性以及通法的考查.为了能够对2016年高考数学试题有更好的了解，并对一题多解有更加深刻的认识，下面就以2016年高考数学题为例探讨一题多解.

例（2016年全国高考理科Ⅰ卷第18题）如图1，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

（1）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

原题中的第一个小题很容易进行证明，在这里就不再进行论述.对于第二个小题，有的考生认为点C难以确定，之所以会这样，是因为他们没有对题目中的“五面体”看清，也就是C、D、E、F是共面的，A、B、C、D共面，那么此时就可以根据AB∥EF来推导出AB与平面CDEF平行，接着就可以根据线面平行的相关性质来推导出AB∥DC，然后推导出CD∥EF，并且还可以证明出∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，那么∠CEF=60°，因此，C点的位置是可以确定的.

接下来主要就第二小题的解法进行论述：

解法1

由（1）可知∠DFE=∠CEF=60°，因为AB∥EF，AB平面CDEF，EF平面CDEF，所以EF∥平面ABCD，AB平面ABCD，因为面ABCD∩面EFDC=CD，所以AB∥CD，所以CD∥EF，所以四边形EFDC为等腰梯形.

如图2所示，以E为原点，EF为x轴，EB为y轴，建立坐标系，设FD=1，E（0，0，0），B（0，2，0），C12，032，A（2，2，0），EB=（0，2，0），BC=12，-2，32，AB=（-2，0，0），假设面BEC的法向量为m=（x1，y1，z1）.

则m·EB=0，m·BC=0，也就是2y1=0，12x1-2y1+32z1=0.

取x1=3，y1=0，z1=-1，则m=（3，0，-1），假设面ABC的法向量为n=（x2，y2，z2），则

n·AB=0，n·BC=0，也就是2x2=0，12x2-2y2+32z2=0.

取x2=0，y2=3，z2=4，n=（0，3，4），假设二面角E-BC-A的大小为θ.

cosθ=m·n|m||n|=-43+1·3+16=-21919.

点评：向量法以其操作简单的特点而被很多的学生采用，但是由于向量法有一个细节需要细心加以处理，即如何确定法向量的方向，如何让两个法向量之间的夹角能够与二面角的平面角相等？其方法也十分简单，在两个半平面上各取一点来构造一个向量，使这个向量的内积与两个法向量内积同号就可以了.

解法2如图3所示，作AG⊥BC，G点为垂足；作EH⊥BC，H点为垂足，则GA，HE之间的夹角也就是为二面角E-BC-A的平面角，假设GB=λBC，那即可得出GA=GB+BA=λBC+BA，因为GA⊥BC，所以GA·BC=0.

同理，λ（BC）2+BA·BC=0，