平面向量运算的几何意义在解题中的应用

薛红利

【摘要】平面向量作为一种基本的数学工具，解决某些数学问题時往往也能避繁就简，事半功倍.本文主要研究用平面向量加减法和数量积的几何意义进行解题.

【关键词】平面向量；几何意义；解题

平面向量作为一种基本的数学工具，既有坐标表示，又有几何表示.对学生来说平面向量的坐标表示更容易接受和理解，但对平面向量运算的几何意义的应用往往感到比较生疏，而几何意义又是平面向量的精华之处，它包括平面向量加减法、数乘、数量积的几何意义，所以，若能合理灵活地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则，以及平面向量数量积的几何意义，解决某些数学问题时往往也能避繁就简，事半功倍.

一、用平面向量加减法的几何意义解题

平面向量加减法的几何意义就是指平行四边形法则（或三角形法则）：向量a+b和a-b就是以向量a和b为邻边的平行四边形的对角线.

案例1若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，则a与b的夹角为（）.

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解方法（一）

设a与b夹角为θ，（2a+b）·b=2a·b+b2=2|a||b|cosθ+|b|2=（2cosθ+1）|a|2=0cosθ=-12.

∵0≤θ≤π∴θ=2π3，故选C.

方法（二）

如图，

OA=2a，OB=b，OC=2a+b.

∵|a|=|b|，

∴|AC|=|OB|=|b|，|OA|=2|a|=2|b|.

∵（2a+b）·b=0，∴∠BOC=90°，

∴Rt△BOC中，∠OCB=30°∴∠COA=30°，

∴∠BOA=90°+30°=120°.

评析：方法一是基于代数意义，方法二是借助图形，通过两种方法的对比发现，利用向量问题考查学生的运算求解能力，不是简单的“繁”、“难”运算，而是通过试题巧妙地设计考查考生利用数学思维方法推理运算的能力，考生需要利用向量的数与形特征，再根据试题的具体条件，合理确定运算目标、设计运算途径.通过以上例题使学生充分体会到向量几何意义的运用，特别是向量与平行四边形、三角形等几何图形相结合会使问题简单化.同时，方法二也能使学生更深刻地体会数学中数形结合的思想.

二、用平面向量数量积的几何意义

评析：如果不用向量数量积的几何意义同样也可以得到正解，但可能稍显麻烦，用几何意义来解则更加简捷，求两向量数量积时，利用其几何意义是将问题转化为共线向量的数量积，只需计算长度即可，达到事半功倍的效果.

正如著名数学家华罗庚所说，“形少数时难入微，数缺形时难直观”，在解题过程中，通过应用平面向量的几何意义，不仅能发现新的解题思路，而且能提高学生的思维能力.新课程高考逐渐从“平稳过渡”变到“平稳发展”，要想让学生适应新课程下的高考，需要在平时教学中重视学生基本能力的培养、思维深刻性和敏捷性的训练，渗透数形结合的解题思想，帮助学生树立解决向量问题的信心.

【参考文献】

[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2009.

[2]秦德生.高考与大学自主招生数学考点大全与真题解析[M].长春：东北师范大学出版社，2014.