MATLAB在矩阵与微分方程教学中的应用

涂金基+谭宇柱

【摘要】利用MATLAB开展高职数学教学，发挥其在矩阵生成和微分方程数值计算中的优势，依托其图形可视化的功能，提高学生学习高职数学的兴趣，进一步培养应用数学方法解决问题的能力，让学生直观体验高等数学在实际中的应用.

【关键词】MATLAB；矩阵；微分方程

【基金项目】本文受江门职业技术学院2015级校级教改项目——MATLAB在高职数学教学中的应用研究资助.

高职数学是高职教育不可分割的一部分，教学质量的好坏与学生良好学习习惯的形成，对他们后期专业的学习有着非常重要的影响.停留在直观教学阶段的传统数学教学方法、教学手段，利用黑板、粉笔、板书教学，已经难以满足现代教育技术的发展和要求，又或者即使使用了多媒体技术，但并没有真正地发挥电子教学媒体交互式的功能，依旧是数学教师一人唱独角戏，导致的结果就是学生在高职数学学习过程中出现了厌学、畏学情绪，教学质量受到了较为严重的影响.如何提高高职数学的教学质量，特别是如何使学生在教育媒介大变革下喜欢高职数学，MATLAB可以发挥良好的切入作用，依靠其强大的数据计算和图形可视化的功能，在目前强交互和云平台这种迅猛发展的教育媒体背景下，提高学生的学习兴趣和学习效率.

一、MATLAB在矩阵教学中的应用

矩阵教学过程中，学生对于行列较少的矩阵的建立、分块都能够处理，并可以开展逆运算，但对于对角矩阵和行列较多的矩阵，特别是大型矩阵的学习，在传统教学中由于教学条件的限制，没有办法迅速地生成大型矩阵.利用MATLAB，可以建立大型矩阵、特殊矩阵.

（一）MATLAB中矩阵建立的方法

1.直接输入法：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔.

2.M文件法：对于大矩阵或者复杂矩阵，可以为它专门建立一个M文件.下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵.

利用M文件建立mymathe矩阵.

（1）启动MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵.

（2）以纯文本方式存盘（设文件名为mymathe.m）.

（3）在MATLAB命令窗口中输入mymathe，即运行该M文件，就会自动建立一个名为mymathe的矩阵，可供以后使用.

3.利用冒号表达式建立一个向量，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是e1：e2：e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值.还可以用linspace函数产生行向量.其调用格式为linspace（a，b，n），其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数.

（二）MATLAB中矩阵拆分的方法

1.矩阵元素法：通过下标引用矩阵的元素，例如，A（3，2）=200，采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素.矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序.在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推.例如，

A=[1，2，3；4，5，6]；

A（3）

ans=

2

显然，序号（Index）与下标（Subscript）是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A（i，j）的序号为（j-1）*m+i.其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得.

2.矩阵拆分

（1）利用冒号表达式获得子矩阵

① A（：，j）表示取A矩阵的第j列全部元素；A（i，：）表示A矩阵第i行的全部元素；A（i，j）表示取A矩阵第i行、第j列的元素.

② A（i：i+m，：）表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A（：，k：k+m）表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A（i：i+m，k：k+m）表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素.

（2）利用空矩阵删除矩阵的元素

在MATLAB中，定义[ ]为空矩阵.给变量X赋空矩阵的语句为X=[ ].注意，X=[ ]与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0.

（三）MATLAB中特殊矩阵的建立方法

1.通用的特殊矩阵

zeros：产生全0矩阵（零矩阵）.

ones：产生全1矩阵（幺矩阵）.

eye：产生单位矩阵.

rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵.

randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵.

1.1分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵.

（1）建立一个3×3零矩阵.

zeros（3）

（2）建立一个3×2零矩阵.

zeros（3，2）

（3）设A为2×3矩阵，则可以用zeros（size（A））建立一个与矩阵A同样大小零矩阵.

A=[1 2 3；4 5 6]；%產生一个2×3阶矩阵A.

zeros（size（A）） %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵.

1.2建立随机矩阵，例如，建立均值为0.5、方差为0.1的11阶正态分布随机矩阵.

命令如下：

y=0.5+sqrt（0.1）*randn（11）

此外，常用的函数还有reshape（A，m，n），它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵.

二、MATLAB在微分方程教学中的应用

在学习过程中，学生对于复杂的微分方程往往觉得较难处理，因为这类方程较为复杂而且大多无法求出通解.而对初值问题要有一个透彻的理解，就必须要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.

因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的.

利用MATLAB将高阶微分方程等价地变换成一阶微分方程组的方法：

MATLAB应用于高职数学矩阵和微分方程的教学，符合高职院校培养高素质技能型人才的思路：立足高职特色，能力与应用并重.我们要不断探索如何突破传统的数学理论灌输，把复杂的数学运算借助计算机来完成，从强调定理的推导和复杂的数学计算提升到培养数学思想和推理能力，真正提升学生的核心基本素质.

【参考文献】：

[1]张志涌.精通MATLAB6.5版教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2003.

[2]薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]崔秋珍，王淑玉.几何图形在高等数学中的作用及在MATLAB的实现[J].洛阳师范学院学报，2003（5）：91-93.