多媒体环境下定积分元素法的教法初探

赵娜

【摘要】定积分是一元函数微积分学的重点，在生产生活、经济金融中的应用广泛.元素法将定积分复杂烦琐的定义简化，使之在处理实际问题时更为简单明了.在课堂教学过程中，辅助以多媒体，通过生动的动画展示，使学生深刻理解掌握定积分的元素法.

【关键词】元素法；定积分；教法

一、引言

高等数学作为大学公共基础课，是理工类、经济类各学科各专业学习的基础课，是学好后续各门专业课的基石.俗话说：地基不牢，何以盖高楼.由此可知，要想学好自己的专业，高等数学必须学好.通常情况下，高等数学分上、下两个学期进行学习，每学期每周六课时，上学期讲完前六章，一元函数的微积分学介绍完.我通过日常的教学情况发现，学生对微分或者求导容易理解，原因很简单，高中时讲过.但是对于不定积分、定积分理解起来相当困难.而定积分作为前六章的集大成者，地位之重可见一斑.首先，定积分是在生产、生活、经济、航空航天中应用最广泛的，其次，定积分定义的理解、变上限积分、微积分基本公式，是整个一元函数积分学的核心，再次，也是考研时的重点.所以，定积分重要，而定积分的应用更加重要.元素法作为定积分应用的有效方法，作用不言而喻.但是，多年的一线教学经验告诉我们，元素法是深奥的，学生理解起来是很难的，那如何让学生理解定积分的元素法是本文所要探讨的.我通过自身的实际教学，结合多媒体，探索出了一套多媒体环境下教授定积分元素法的方法，与大家分享交流.

二、运用多媒体，对比分析，启发引导，引出元素法

1.问题的提出

设函数f（x）在区间[a，b]上非负、连续.由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形.如何求曲边梯形的面积？

根据定积分的几何意义可知，曲边梯形的面积A= ∫baf（x）dx.

2.简要回顾定积分的定义（分割，近似代替，求和，取极限）

上述方法即为元素法.

三、归纳总结，得出元素法解题的一般步骤

1.根据具体问题，选取一个变量.

2.把相应的小区间上的部分量表示出来，称为元素，然后积分即得所求量.

四、由线及面，由面及体，引出元素法在几何中的应用

1.平面图形的面积

（1）由上下两条曲线y=f（x），y=g（x），（f（x）≥g（x））及x=a，x=b，所围成的图形的面积为A=

（上接21页）

例2求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.

解如图，根据对称性，可先求椭圆右半部的体积，右半部是曲边梯形OAB绕x轴旋转而成的.曲边AB的方程为y=baa2-x2.

选x为积分变量，积分区间为[0，a].

所求旋转体的体积为

Vx=2π∫a0b2a2（a2-x2）dx=2πb2a2∫a0（a2-x2）dx

=2πb2a2a2x-x33a0=2πb2a2a2-a33=43πab2.

五、由几何发散至物理，举例说明元素法在物理学中的应用

例3一容器盛有一定量的氦气，在等温条件下，气体膨胀推动容器内的活塞从a点运动到b点，计算在此过程中气体所做的功.

解由物理学知识p=kV，V=xS，可知p=kxS，

于是作用在活塞上的力F=p·S=kxS·S=kx，

找出功元素dW=kxdx，则所求的功为W=∫bakxdx=k[lnx]ba=klnba.

例4一圆柱形的水桶高为4米，底面半径为2米，桶内盛满了水，问把桶内的水全部吸出需要多大的功？

解由题意可知，取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，4].相应于[0，4]上任一小区间[x，x+dx]的一层薄水的高度为dx，若重力加速度g取9.8 m/s2，则这层薄水的重力为9.8π·22dx，把这层薄水吸出桶外所做的功近似为dW=39.2πxdx，

于是所求的功为W=∫4039.2πxdx=313.6π≈984.7（kJ）.

六、总结

通过本节课的学习，使学生们懂得，定积分元素法的本质是，一个问题如果能用它的元素累加得到結果，那么这个问题就可以用定积分进行求解.一取其元素，二定积分.定积分的元素法可以应用于各个学科、各个领域，其理论之精妙，计算之简单，恰恰反映了数学的精髓，数学之美，大家课下一定要认真揣摩，勤加练习.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学·第七版·上册[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]侯国亮.关于定积分元素分析法的一种新理解[J].长春师范大学学报，2014（4）：17-19.

[3]叶永升.高等数学教学方法的思考[J].淮北师范大学学报，2011（9）：77-79.

[4]黄光东，陈振国.数学基础课教学中加强学生应用能力培养的探究[J].中国地质教育，2005（2）：30-31.