例说巧解方程的根与函数的零点问题

2017-04-15黑龙江省大庆市第二十八中学163000

数理化解题研究 2017年7期

关键词：交点零点图象

黑龙江省大庆市第二十八中学 (163000)

黄海燕●

例说巧解方程的根与函数的零点问题

黑龙江省大庆市第二十八中学 (163000)

黄海燕●

随着新课标的不断发展和深化，高考对学生综合素质的考察越来越重视，一些高等数学的概念也逐渐融入到高中数学课程中，而方程的根与函数的零点问题便是其中之一.本文采用函数与方程、转化与化归和数形结合的数学思想详细阐述了解决函数零点分布、零点个数和两个函数交点的问题.

方程的根;函数的零点

随着新课标的不断发展和深化，高考对学生综合素质的考察越来越重视，一些高等数学的概念也逐渐融入到高中数学课程中，而方程的根与函数的零点问题便是其中之一.方程的根与函数的零点是数学必修一第三章的内容，是在学生学习完基本初等函数后引入的概念.虽然函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着十分密切的联系.很多函数问题可以通过方程的知识与方法来化解；很多方程的问题,可以用函数的知识与方法去解决.函数与方程思想得本质是实现函数与方程的相互转化.同时方程的根与函数的零点问题还会应用到转化、化归和数形结合的数学思想.

一、知识回顾

定义：对于函数y=f(x)，把使函数f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).值得注意的是函数的零点并非是一个点，而是使得函数f(x)=0的实数x的值.即：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标⇔函数y=f(x)有零点.

零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点.

二、典型例题

类型一函数零点的分布

例1 (10天津理)函数f(x)=2x+3x的零点所在区间是( ).

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

解析解决零点分布问题，主要依据零点存在性定理.

∵y1=2x在定义域内是单调递增函数，y2=3x在定义域内是单调增函数， ∴f(x)=2x+3x在定义域内是单调递增函数∵f(-2)=2-2-6<0；f(-1)=2-1-3<0；f(0)=20+0>0；f(1)=21+3>0；f(2)=22+6>0根据零点存在性定理：f(-1)·f(0)<0；所以函数f(x)=2x+3x的零点所在区间是B(-1,0) .

注：使用零点存在性定律时，应先判断函数在给定区间[a,b]是否一条连续曲线，如果是再使用f(a)·f(b)<0判断零点的存在.

类型二函数的零点个数

A.0 B.1 C.2 D.3

注：本题用到了函数与方程的数学思想.

例3 若函数f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是____.

解析根据函数的零点、函数的图象和方程的根三者之间的关系：函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标⇔方程f(x)=0有实根.可将此题转化为函数f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有两个零点 ⇔logax=2x-2a(a>0且a≠1)有两个解⇔函数y=logax与函数y=2x-2a(a>0且a≠1)的图象有两个交点.当a>1时两函数图象如图1所示，当0