把握分类讨论标准 破解导数应用困局

安徽省枞阳县会宫中学(246740)

朱贤良● 付朝华●

把握分类讨论标准 破解导数应用困局

安徽省枞阳县会宫中学(246740)

朱贤良● 付朝华●

导数是高中数学中的重要概念之一，运用导数来求解函数的单调性、极值与最值问题是高考数学命题的常见角度，但含参的导数问题也是考生公认的难点与易错点之一．究其根源，伴随着参数的导数问题往往需要分类讨论，而如何进行分类讨论、如何把握分类讨论的标准就成为破解导数应用困局的关键．

我们知道，利用导数来研究函数的单调性、极值与最值问题一般流程如下：

在涉及含参函数的单调性等相关问题中，往往在第二、三、四、五步可能需要就参数的取值进行分类讨论，主要是要考虑到导函数零点的存在与否(有没有、有几个)、导函数的零点如何划分定义域(是否在定义域内、多个零点孰大孰小)、导函数符号是否确定、函数最值点是否确定(极值点还是区间端点)等．以下结合具体例题，一一说明之．

一、考虑导函数零点的存在与否

在上述流程的第二步中，需要考虑到导函数f′(x)的零点存在与否：是否存在？存在又有几个？这往往是第一个分类讨论的标准．

例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改编)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a∈R．试讨论f(x)的单调性．

分析 由题知，f′(x)=-3x2-2x+1+a.

x(-∞，x1)(x1，x2)(x2，+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘

评注 本题中的导函数为二次函数，在考虑导函数的零点是否存在时，一般先考虑导函数能否进行因式分解(提公因式或十字相乘)，若可以，则必存在零点；若不可以，则选择判别式进行判断．特别需要注意的是，当判别式等于0时，导函数有唯一零点，此零点并非函数f(x)的极值点，此时函数f(x)在定义域上单调．

二、考虑导函数的零点是否分布在定义域内

在上述流程的第三步中，需要考虑到导函数f′(x)的零点是否分布在定义域内、零点将定义域划分成哪几个区间．若不确定，则需分类讨论之．

分析 由题可得，f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].

由f′(x)=0得，x=a或x=a+1．

接下来需要就两个零点a与a+1是否分布在定义域[0,2]内展开讨论：

①当a

②当0

x(0，a+1)(a+1，2)f′(x)-+f(x)↘↗

③当0

x(0，a)(a，a+1)(a+1，2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

④当0

x(0，a)(a，2)f′(x)+-f(x)↗↘

⑤当2≤a

综上所述，当a≤-1或a≥2时，f(x)的递增区间为[0,2]；

当-1

当0

当1≤a<2时，f(x)的递增区间为(0,a)，递减区间为(a,2)．

评注 本题中的分类讨论是源于导函数f′(x)的两个零点a与a+1是否在定义域[0,2]内，这也正是分类的标准．

三、考虑导函数多个零点的大小是否确定

在就导函数f′(x)的零点划分定义域时，既要考虑到导函数的零点是否在定义域内，还要考虑到多个零点的大小问题．倘若多个零点的大小关系不确定，也需要进行分类讨论．

例3 设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2，其中a∈R．试判断函数f(x)的单调性．

x(0，1)(1，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

x(0，a2)(a2，1)(1，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

x(0，1)(1，a2)(a2，+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(1,+∞)，递减区间为(0,1)；

当a=2时，f(x)的递增区间为(0,+∞)；

评注 本题在分类讨论求解时，既考虑到了导函数的零点是否在定义域内，又考虑到了两个零点孰大孰小，分类标准清晰．

四、考虑导函数的符号是否确定

导函数f′(x)的正负情况，决定了函数的单调性．而有些时候，f′(x)的正负情况并不确定，则需要分类讨论之．

②若a>1，则在定义域[1,+∞)上，y=(1-a)x2-x+a≥0，f′(x)≤0，即f(x)在[1,+∞)上递减．

x(1，a1-a)(a1-a，+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

当a>1时，f(x)在[1,+∞)上递减；

五、考虑函数最值点是否确定

在判断函数的单调性之后，还需要确定函数的最值点是某一极值点还是区间的端点，这就需要判断函数的极值与端点处函数值的大小．若不确定，则分类讨论处理．

x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2f′(x)+0f′(x)0f′(x)f(x)3-3a>0↗f(x1)>0↘f(x2)↗3a-1

最大值是哪个？如何判断？

综上所述，

分类讨论思想是中学数学中的重要思想方法，在历年高考试题中都有所考查．应用导数处理含参函数的单调性等问题时，要注意思维的严密性与逻辑性，弄清楚分类讨论的原因与标准，确保不重不漏、准确合理．

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1008-0333(2017)07-0006-03