运用三次函数零点个数的判定定理快捷解决高考综合题

2017-04-15湖北省襄州一中441104

数理化解题研究 2017年7期

关键词：过点交点零点

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

运用三次函数零点个数的判定定理快捷解决高考综合题

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

设有三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4(b2-3ac).

①当Δ≤0时,若a>0,则f′(x)≥0;若a<0,则f′(x)≤0,所以f(x)在(-∞,+∞)是单调函数.由图象直观可知函数f(x)有唯一零点.

(其中Δ=4(b2-3ac),x1,x2是f′(x)=3ax2+2bx+c=0的两根)

本文以2014年，2015年高考的三道压轴题为例，说明定理在解题中的应用.

例1 (2014年高考课标2文科21压轴题)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.

(1)求a；

(2)证明：当k<1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.

解 (1)因为曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.所以f′(0)=1⇒a=1.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,“曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点” 等价于“ 函数g(x)=f(x)-kx+2即g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4只有一个零点”.k<1,设1-k=3m，则m>0,只须证明“ 函数g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一个零点”即可.g′(x)=3x2-6x+3m，Δ=36-4×3×3m=36(1-m).

当m≥1时，Δ≤0，由“定理”知：函数g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一个零点；

当00，设g′(x)=3(x2-2x+m)=0的两根为x1,x2则x1+x2=2,x1x2=m.因为g(x)=x3-3x2+3mx+4=(x-1)(x2-2x+m)+2(m-1)x+m+4，

g(x1)g(x2)=[2(m-1)x1+m+4][2(m-1)x2+m+4]

=4(m-1)2x1x2+2(m-1)(m+4)(x1+x2)+(m+4)2=4(m-1)2m+4(m-1)(m+4)+(m+4)2

=m(4m2-3m+24)>0.由“定理”知：函数g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一个零点.

综上知当k<1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.

评注本题难度很大，主要考查导数的几何意义，导数的计算；考查推理论证能力和创新意识；考查数形结合的思想，转化化归的思想，函数与方程的思想、分类讨论的思想.

在证明过程中，等价转化，构造函数，利用判定定理就参数的范围分类讨论，巧设参数，简化运算，体现了明确的目标意识.

例2 (2014年高考北京卷文科压轴题) 已知函数f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值；

(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；

(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？(只需写出结论)

(3)过点A(-1,2)存在三条直线与曲线y=f(x)相切；过点B(2,10)存在两条直线与曲线y=f(x)相切；过点C(0,2)存在一条直线与曲线y=f(x)相切.

评注能够快速解答第(2)问的关键是运用了转化的数学思想和三次函数有三个零点的判定定理；第(3)问运用函数图象的对称性及(2)的结论得“过点A(-1,2)存在三条直线与曲线y=f(x)相切”；画草图，利用直觉思维得“过点B(2,10)存在两条直线与曲线y=f(x)相切；过点C(0,2)存在一条直线与曲线y=f(x)相切”.

本题难度较大，主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值的方法；考查了运算求解能力和推理论证能力.

例3 (2015年高考江苏卷)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)试讨论f(x)的单调性；