极值点偏移条件试题的命题背景及解题方法

福建省泉州实验中学(362000) 福建省泉州第五中学(362000)

崔红光● 杨苍洲●

极值点偏移条件试题的命题背景及解题方法

福建省泉州实验中学(362000) 福建省泉州第五中学(362000)

崔红光● 杨苍洲●

近年以极值点偏移图象特征为背景的题目时常会出现在试题的压轴题位置，笔者归纳总结了极点偏移条件及处理方法.

一、极值点偏移满足的条件及相应结论

结论一 若定义域为集合M的函数f(x)有且只有一个极小值点x0，当x,2x0-x∈M时，若f′(x)+f′(2x0-x)<0，则极值点左偏(如图1) .若满足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则有x1+x2>2x0.

证明 令f(x1)=f(x2)，因为x1≠x2，所以x1F(x0)=0，

所以f(x1)>f(2x0-x1).又因为f(x1)=f(x2)，所以f(x2)>f(2x0-x1).而2x0-x1>x0，x2>x0，f(x)在x0右侧区间递增，从而x2>2x0-x1，即x1+x2>2x0.

结论三 若定义域为集合M的函数f(x)有且只有一个极大值点x0，当x,2x0-x∈M时，若f′(x)+f′(2x0-x)>0，则极值点左偏(如图三).若满足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则有x1+x2>2x0.

结论二、三、四的证明，可以仿照结论一进行证明.限于篇幅此处从略，留给有兴趣的读者进行探究.

二、以极值点偏移为背景的试题命制方法

f′(x)的零点左侧的图象比右侧的图象变化更快，则极值点左偏；反之f′(x)的零点左侧的图象比右侧的图象变化更慢，则极值点右偏.若导数图象不易作出，再求二阶导，通过二阶导确定一阶导的图象变化情况，这种方法往往更快更实用.

有了上面这些结论，我们就可以设计题目了.如证明上述结论(2), 以定义域为集合M的函数f(x)只有一个左偏的极小值点x0为例，证明：x1+x2>2x0.我们可以这样分析：要比较的是有关自变量的不等关系，我们比较大小的一个重要方法是利用函数单调性，进而想到可否将比较自变量大小利用函数单调性等价转化成比较对应函数值的大小；要证x1+x2>2x0，只需证x2>2x0-x1，而x2>2x0-x1>x0，f(x)在x0右侧区间递增，即证f(x2)>f(2x0-x1)①.至此需证二元不等式，思想方法是二元化一元.因为f(x1)=f(x2)，原不等式化成f(x1)>f(2x0-x1)，易想到构造F(x)=f(x)-f(2x0-x)，x0由只有一个左偏的极小值点解析式特征，易证F′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)<0，F(x)递减，F(x1)>F(x0)=0，所以f(x1)>f(2x0-x1)

①式成立，故结论成立了.

三、以极值点偏移为背景的试题赏析及解题方法

例1 (2016全国乙卷21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，

(1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

分析 本题是极值点右偏类型.

(1)略；(2)f′(x)=(x-1)(ex+2a).由(1)得a>0,易得x=1是f(x)的极小值点，则x1<10，F(x)递增，F(x1)

根据每个命题本身，往往这类题目还有其它方法，这里暂时不提及.

本题可做拓展，设置问题：若x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<1.

综上所述：x1x2<1，证毕.

分析 本题是极值点右偏类型.(1)略；(2)设x0为f(x)的极值点.

本题可做拓展，证明：x1x2

G632

B

1008-0333(2017)07-0003-02