欧拉（Euler）常数存在性证明及其应用

徐军

【摘要】本文在介绍欧拉（Euler）常数存在性的基础上，结合实例给出了欧拉常数在解决某些数学问题中的应用，如求极限问题，求收敛级数和的问题。

【关键词】欧拉常数 极限 收敛 应用

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）10-0123-01

一、欧拉（Euler）常数存在性证明

极限 存在，此极限称为欧拉（Euler）常数，记为C。

证法 1 记

那么由不等式 ，有

因此xn严格单调递减，故

又

因此xn单调递减有下界，故 存在。

证法 2 考虑 ，则

对 用拉格朗日（Lagrange）中值公式，那么

因此 ，因 收敛，故 收敛，从而 也收敛。

又因为 ，故极限 （1+ +…+ -ln n）存在。

二、应用举例

例 1 求 。

解：因为 ，其中C为欧拉常数，所以原式

= [ln2n+C+α2n-（ln n+C+αn）]= （ln 2+α2n-αn）=ln 2

其中， ，當n→∞时。

例 2 求级数 的和。

解：记 ，那么

Sn=（1+ - ）+（ + - ）+…（ + - ）=（1+ + -1）+（ + + - ）+…+（ + + - ）=（1+ +…+ ）-（1+ +…+ ）

由欧拉常数公式，有原式= （ln 3n+C+α3n-ln n-C-αn）= （ln 3+α3n-αn）=ln 3

其中， ，当n→∞时。

参考文献：

[1]吉米·多维奇习题集[M].李荣栋译.北京人民教育出版社，1978年版.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社（二版）.

[3]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社（六版）.