数学英才教育研究述评

张 倜，曾 静，熊 斌



数学英才教育研究述评

张 倜1，2，曾 静1，2，熊 斌1，2

（1．华东师范大学数学系，上海 200241；2．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241）

英才教育是引领知识经济发展的主力军，数学英才教育处于各国英才教育体系中的核心地位，一直是国际上研究热点之一．国外数学英才教育研究在实践方面取得了大量的研究成果：规范的入学考试；针对数学英才生设立的英才项目；课程标准多样化；高中教学大纲内容与大学数学课程内容紧密衔接；数学英才生的教材极为丰富．中国数学英才教育研究需在以下方面做出改进：建立系统的数学英才课程；设计跨学科的课程框架；鼓励教材多样化；培养精锐的数学教师队伍．

英才生；数学英才生；选拔；培养

日本教育家麻生诚所说：“英才无论在任何社会中，都是绝对必要的．若缺少这部分人才，就必然导致社会的某种衰落表现．”[1]自20世纪80年代起，美国数十个州先后设立“数学——科学学校”，国家层面推动的“科学、技术、工程和数学教育计划”等，一贯强调学生的创新能力和数学科学英才生的培养．数学英才教育在各国英才教育体系中均处于核心地位[2]，TIMSS、PISA等大型国际数学与科学成就比较研究中，均把5%的顶尖学生作为核心样本之一．《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》把拔尖创新人才培养作为核心问题，并提出要建立拔尖创新人才早期培养机制．可见，当前世界各国均有不同程度的教育危机意识以及培养数学精英人才的切实举措．

1 英才的界定

对英才的界定，各国都有一些标准，并不统一，主要有以下几类．

1.1 兰祖利三环理论对英才的界定

兰祖利（Renzulli）是美国康涅狄格大学教育心理学系的著名教授，并兼任该大学英才教育与发展中心主任．他的三环理论由两种类型和3种能力组成．英才有两种不同的类型，学习型英才和创造型英才．学习型英才通常是指那些通过知识的学习，在标准化考试中能够脱颖而出的学生．创造型英才是多样化的，不易通过标准化测验得出结论．比如，有些学生的艺术天赋（音乐、舞蹈、绘画）很难通过智力测试测量出来．Hong和Aqui亦指出学术型英才和创造型英才的区别[3]．前者是学校中数学高成就者，而后者是兴趣浓厚及活跃的个体，然而他们不是高成就者．

兰祖利的三环理论是针对创造型英才提出的，该类型英才具备3种能力[4]．第一种能力是指高于平均水平的能力，这种能力包括普通能力和特殊能力．第二种能力是指对任务的执着．它是指学生对学习的热衷度，对完成任务的态度．第一种能力是智力因素，第二种能力是包含个性与品格的非智力因素．第三种能力是指创造力．这里所指的创造力不仅是学生在创造力测验中表现出来的创造力，更是指学生在发现问题和解决问题过程中所表现出的独特的见解．兰祖利认为学生的创造力通过后天的教育和实践是可以培养起来的．

20世纪80年代初期，Renzulli[5~6]及其研究团队基于三环人才理论提出了“旋转门人才识别模型”[7~8]（Revolving Door Identification Model），他们认为英才具有3种特征：高于平均水平的能力、对任务的执着和创造力．

1.2 认知心理学对英才的界定

在认知行为方面，Harrison认为快速的学习、超常的记忆力、长时的集中力、理解复杂概念的能力、强大的观察力及幽默感，具有这些显著特征的方为英才[9]．学生的数学学习过程是一个动态的、开放的复杂系统，它不但受到学生自身的认知因素和非认知因素的影响，还不断与外界环境进行交互作用．认知因素直接参与学生的数学认知过程，非认知因素虽不直接参与认知活动，但对学生的数学学习活动，特别是英才学生的数学学习活动，起着推动、增强、坚持和调节控制等作用．Gagné认为儿童的潜在表现水平显著高于同龄人是英才的核心特征．

1.3 统计学对英才的界定

根据统计学的标准，以色列英才教育指导委员会将英才分为3个层次[10]：智力高于155的超常生、智力高于135的天才生以及占总体5%的优秀学生．

20世纪20年代，推孟作为美国当代教育心理测量的开拓者之一，对英才儿童的操作定义是[4]：在斯坦福——比纳智力量表中得分处于前1%的儿童．在此之后的许多研究都将学生的单次、单一心理测试成绩作为英才识别的唯一标准．

1.4 数学英才生的界定

Krutetskii指出数学英才生具有独特的综合数学能力，并在数学活动中有成功表现的可能性．他对数学能力的全面调查历经12年，旨在窥探数学能力的本质和结构．他将能力定义为一种个性特征，能够好而快的执行给定的任务，并能够对现有任务特征与之前经历过的活动特征进行比较[11]．

Reading School英才教育管理部门认为[12]：除了数学成绩以外，数学英才生还必须具备以下大多数，甚至全部数学能力：迅速地学习和理解数学观念；轻松地识别数学模式；具有数学洞察力和数学直觉；能够进行简洁、精确、逻辑和有效的数学交流；有解决超出个人经验的复杂问题的信心；在新情境中应用数学方法；检验所用数学方法的能力；能够识别某个问题的相关信息，并知道何时和如何使用这些信息；能够将数学融会贯通，并能理解数学学科不是由若干孤立的主题组成的；能面对解决复杂问题产生的各种挑战；具有持续性理解能力．

盛志荣和周超认为数学英才生有以下特点[13]：较强的问题解决能力和推理能力；高度的创造力；批判性思维能力；完美主义者．

从以上界定可以看出，国内外学者对英才生的研究多数仍专注于智力和学术两方面．概括起来，高智力和创造力时常伴随着以下人格因素的出现：较高的道德判断力、高度自我意识、对其它事物的高度敏感、内省性、对自身和外界事物的高度期望、理想主义和正义感、高水平的情感深度和强度．因此，某些特征在英才生中是显著存在的，而其他的特征则需要通过教学才可开发出来．总体看来，这些界定包含了3层含义：一是认可英才的存在；二是突出英才的多样性和个体性；三是强调英才的发展性和创造性．数学英才生有时被视为英才的部分或是特殊群体．然而，把数学英才生仅仅看做是英才的子集是狭隘的．谈到数学英才生，值得注意的是其领域的特殊性及复杂性．

2 数学英才生的选拔

如何有效地设计与实施人才选拔流程一直是英才教育中最富有争议的话题之一．基于学生幼时的表现和潜能对其未来成就的预测总是差强人意，人才识别一直被诟病为“不精准的科学”[14]．不同的英才教育背景下，对数学英才生的选拔主要有以下3类．

2.1 传统纸笔考试

数学入学考试MAT[15]（Mathematics Admissions Test）与第六学期数学纸笔考试[16]（简称STEP考试）均是英国重要的数学英才选拔考试．前者主要是针对牛津大学本科数学、计算机及相关专业申请者在面试前设置的纸笔附加考试，重在考查学生理解A水平数学的深度而非广度．后者主要是针对报考理科专业的学生而设计的纸笔考试，重点考查学生应用数学知识解决问题的能力．

韩国釜山科学英才学校对数学英才生的选拔过程包括3个阶段[17]：第一阶段，提交所有科成绩，以及数学和自然科学的竞赛成绩．第二阶段，学生需参加关于创造力的测试．第三阶段，需参加4天的野营．

中国台湾地区对测试的权重给予得较大[18]．选拔程序分为初选和复选，初选由实验学校负责进行团体的大型智力测验，复选则由辅导单位协助实验学校共同完成，实施个别智力测验、创造能力测验及其它学业成就测验等，最后召开英才生鉴定会议决定．

2.2 旋转门人才识别模型

兰祖利及其研究团队基于三环理论提出“六步法选拔英才”[4]．第一步是确定目标人群．从所有学生中选出占比为15%进入准英才库，再经过各种标准测验，选8%的学生进入英才库．第二步是教师提名．意在选出那些在标准测验中未获得高分但能力超常的学生．第三步是个性化筛选．那些没有通过前两步，但很优秀的学生，可以通过毛遂自荐、同学推荐、创造性测试等方式提出申请．第四步是特殊案例提名．教师之前教过的英才生没有出现在英才库名单上，可向英才委员会提出申请．第五步是家长参与．学校组织家长会，告知他们英才库的遴选标准、三环理论以及学校的英才项目和政策等．第六步是行为信息提名．若学生表现出非凡的创造力或执着力，将会通过这一关进入英才库．

2.3 三维指标识别法

唐盛昌和冯志刚[19]基于数学英才生案例的纵向研究提出了识别数学英才生的3个主要指标：第一是对数学的领悟力与深刻性．通过对数学模式的迁移、数学方法的迁移、数学思想的迁移以及数学创新与突破，4个逐渐递升的层面来判别学生对数学的领悟力与深刻性；第二是对数学的痴迷度与专注度．通过对释疑的坚持性、探究的坚持性、成败的坚持性以及完美的坚持性来判别学生对数学的痴迷度与专注度；第三是数学思维的续密性与跳跃性．数学天份高的学生一个鲜明特点就是他们在思维的缜密性与跳跃性上衔接紧密．新思路与新想法的产生，建立在思维跳跃性的基础上；而思维的跳跃性是以思维的缜密性为前提的．

简而言之，英国的MAT注重考查学生理解A水平数学的深度，重视数学推理与数学探究．MAT的最大闪光点在于依据大学数学、计算机及相关专业的要求，有针对性地分层设计试题，既有各专业公共的数学基础，又有不同专业分类作答的问题．STEP考试注重数学知识在实际中的应用，主要以基础知识为起点，以数学思想方法为工具，全面测量考生的思维能力与思维过程．试题较为全面地覆盖了考试大纲中的数学知识，同时针对重点问题进行了深入地考查．韩国、中国台湾都很注重创造力测试与学业成绩，这种对资优生的选拔工作是基于传统教学意义上的学科测试，是对学生的智力或学术能力方面的甄别，这就比较容易产生资优教育对象单一，进而培养出“学术资优生”或“智力资优生”，这与资优教育理论研究的多元化与现实实践单一性之间是矛盾的．相比之下，兰祖利的识别模型通过学校筛选、教师提名、家长参与及学生自荐，各个环节之间相互配合、相互补充，让教师最大限度的把学校里所有英才生选拔出来，这种选拔人才的模型相对完善，值得借鉴．三维指标识别法是在当前教育制度和环境下，唐盛昌和冯志刚对数学英才生的教育观察和对其发展的追踪总结，提炼出的3条选拔依据，是一个不断认识、探索与深化的循环过程．这种识别法满足了对英才生发展性和创造性的甄别标准，但缺少对英才生的多样性和个体性这方面的考虑．

单纯用考试的方法来识别数学英才生是不完全的，也是不公平的，许多有真正数学天赋的孩子在这种筛选下会被忽略．由于数学学科具有高度的抽象性和应用的广泛性，不同发展方向的英才生对数学有着不同的需求，尤其是高校之间对数学的要求也不尽相同，所以一般的数学考试都分成不同的层次，用以区分不同的考试要求和考试目标．选拔数学英才生比较科学的做法是多方面的考察和长时间的关注，应把教师的观察活动与考试两者相结合，即人才识别的有效性要求选拔流程设置多样化的评估手段和标准．

3 数学英才生的培养

数学英才生的教育是一种特殊教育，对他们的培养需要特殊的课程和培养环境．各国学校对数学英才生制定了独特的培养方案，数学英才生的培养研究包括以下3个方面：数学英才生项目，课程设置，以及教学实践．

3.1 项目培训

在鼓励学生加强数学专业知识这方面，各国的项目设置相差较大[20]．以美国和以色列的数学英才项目为例．

Zvi Arad教授于30年前创立的数学英才项目是以色列数学英才教育的领头羊，意在培养数学爱好者在数学方向的发展，完全依靠大众力量逐步发展成为以色列数学英才教育的排头兵[21]．以色列的数学英才项目分为3个阶段：初中、高中、大学．初中项目招收优秀的小学六年级和初中一年级的学生，高中项目分3年进行．

3.2 课程设置

Diaz等人认为：课程如果缺少挑战，数学英才生易感到枯燥无聊，提不起学习兴趣，课业成就很有可能不易表现[22]．可见，课程设置是培养数学英才生的重要环节．

俄罗斯的完全中等教育阶段（接近中国高中教育阶段）的数学标准有两套：基础水平和专业水平[23]．专业水平是为深入学习数学的数学英才学生设置，内容多、要求高．现行教材有多种层次、多个版本，有些是沿用苏联时期的教材．俄罗斯联邦教育科学部于2008年公布了适合于专业水平多达10套的完全中学数学教材，分“推荐使用”和“许可使用”两类，分别为8种和2种．不同于国内，俄罗斯课程标准是依据现有教材内容编制而成，即使是老教材也适用于新课标．

韩国数学英才课程依托于以下3种模式[24]：科学高中、釜山科学英才学校、基于大学的英才教育中心．科学高中课程特点为：更多高水平的数学和自然科学，更多自然科学实验课和探究活动，更多的选修课．釜山科学英才学校为数学与科学英才生开设的课程包括：学科内容、独立研究和课外活动3种．基于大学的英才教育中心推行的是数学和自然科学的强化课程．

中国台湾地区的数学英才课程目标为[25]：加强中学数学及自然科学英才学生的辅导，提供良好的学习环境，使其充分发挥潜能，促进批判性与推理性思考，发展创造力并鉴赏创造力，为进一步的科学学习研究奠定深厚根基，早日成为优秀的基础科学人才．

3.3 教学实践

Park研究发现：常规课堂中的数学教学无法满足数学英才生的学习，大多数教师不知如何识别数学英才生，在常规课堂上对数学英才生的教学力不从心[26]．

兰祖利提出了三维教学模式[4]．首先，通过一系列的测评和观察，教师逐步识别学生的学习兴趣、风格和能力水平．然后，在此基础上组织以学生为中心的多元化课程．最后，通过多样化的活动，帮助学生实现能力的发展和提高．丰富教学模式的活动包括3类：第一类是普通探索性活动．第二类是集体活动主要用来发展学生的思考和体验能力．第三类是个人和小组解决实际问题的研究．

Renzulli提出教师对数学英才生有效教学的4条建议[6]：教师需认识到每位学生独特的思维方式；学生对所学内容感兴趣时，会有效提高学习效果；当学生把所学内容与周围环境以及生活经历建立起联系时，会提高学生学习兴趣；在数学英才生的学习过程中，教师扮演的角色是协助他们使用精确的方法以及相应的附加资源．由此看出，教师应努力创设一种适合于数学英才生学习的课堂环境，给他们提供更多机会去寻获感兴趣的知识．

唐盛昌和冯志刚根据二十多年对上海中学数学英才生的教学经验提出了培养数学英才生的两种教学模式[19]：第一种是采用“1+”的导师带教方式．安排一个数学教师作为长期带教的核心教师，同时整合校内和校外数学教育团队的智慧共同培养．第二种是建立学生团队，开展学习风暴式的合作交流．集数学学习能力相仿、志同道合、各有特点的学生组成学习团队，开展学习风暴式的合作交流．

纵观各国的数学英才生培养模式，虽然在细节上不尽相同，但对数学英才生的培养理念却是一致的．在大众教育普及的背景下，对数学英才生的培养模式系统化，注重数学英才生在数学学科发展的可持续性．从小学到中学，中学到大学，整体设计是以色列数学英才教育体系的特点．俄罗斯则以其多种多样的教材版本见长，针对不同层次数学英才生的培养，可选择适合其发展需要的教材，是“不同的人学习不同的数学”的较好体现．兰祖利的教学模式是让学生通过多样化、个性化的丰富教学活动来实现能力的提高．唐盛昌和冯志刚提出的让多个实力相仿的高天份学生在一起学习，相互竞争又共同合作，推进高端达成．总体概括起来，课程模式多是通过以下方式呈现：充实、区分、加速升级、课程的浓缩、其他的课程、额外的课程活动以及个体的发展．无论采用何种培养模式，各国学校和教师都是遵循以学生为中心的原则，建立在学生已有认知结构上，关注学生的全面发展，不局限于传统学校教育的框架之内．

4 结 语

英才是人才大军中的一支“特种部队”，有卓越的创新能力，是人才资源中最有价值的部分．数学作为一门基础学科，与许多相关科技学科密切相关．数学英才生的选拔和培养对于推进科学技术的发展意义重大．2014年在北京举办的中学英才教育数学课程研讨会上，章建跃曾道出国内英才教育面临着以下问题：中国目前没有英才教育的环境，功利的教育目标与英才教育相违背，没有英才教育的机制，没有英才教育的课程体系和教材，以竞赛数学代替英才教育教材的现象普遍存在，等等．选拔方面，国内外均看中学科成就及各类测试，尤其钟情于创造力的测试，选拔出的数学英才生多是学术英才生和智力英才生．这与英才教育理论研究的多元化与现实实践单一性之间是矛盾的．课程设置方面，各国鲜少有专为数学英才生编写的教材，大多数国家采取的做法是加深数学课程的广度和深度，或使用奥数系列丛书，没有考虑到不同层次的学生不同的需求．国外对数学英才生的研究已转向纵向发展，理论研究较成熟，实践教学研究则注重与数学英才生匹配的项目训练与课程设置，国内对数学英才生的培养应在以下两方面作出改进．

4.1 课程方面

大量研究都表明，导致优秀学生低成就的原因之一就是缺乏有挑战性的课程[27]．提高教育人才质量在相当程度上取决于是否具有与之相匹配的课程设置[28]．与国外数学英才课程相比，国内学校虽在数学课程开发上作了长足的探索，但仍存在数学课程设置相对孤立的现象，横向上缺乏学科间的沟通，纵向上缺乏不同学段的衔接，尤其是与大学课程的衔接[29]．课程设置应注重数学知识的完整性和系统性，使学生形成深厚、完整的数学基础．因此，为数学英才生设置的课程应在课程设计的各个层面进行改造，跨学科的课程设计框架也应被提上日程，鼓励教材多样化，以期满足不同层次数学英才生的需要．

4.2 教师方面

北京师范大学张英伯教授曾提出数学英才生的培养应该主要依靠中学教师，而不是大学教师．曾任国际数学教育委员会主席的Michèle Artigue教授也曾指出，教师培养与资格考试是法国数学教育的强项，资格考试通过率低，即使通过，仍需在有资质的大学进行为期一年的国家教师招聘准备，还需参加一年的实习，以保证教师具有较高的专业化水平．法国存在很大一批获得数学专业博士学位的教师是在中学任职，并且法国还有数学家加入数学教育行列的惯例[28]．法国的数学教育对中国的启示是：教师作为教育活动的主要实施者，其专业化水平将直接影响教育教学水平．另外，非认知因素与认知因素相比，对人的工作状况、生活程度等影响显著[29]．数学英才生对教师的教学要求极高，教师在教学过程中除了需要提高专业素养外，还应处理好以下几种关系：数学英才生一般智力发展与特殊智力发展的关系；数学学习与科技素养、人文素养提高的关系；数学英才生成长的短期目标与长期目标的关系．

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[责任编校：周学智]

Review of the Research on Mathematical Gifted Education

ZHANG Ti1, 2, ZENG Jing1, 2, XIONG Bin1, 2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

Gifted education was the main force to lead the development of knowledge economy, mathematical gifted education takes the core status in gifted education system, had always been one of the hot issues in the world. Foreign mathematical gifted education research had made a lot of results in practice, normative entrance examination, set up talented project for mathematically gifted students, curriculum standard diversification, course content close connection existed between high school syllabus and college mathematics, abundant textbook. Mathematical gifted education research in China should be improved in the following aspects, establish systematic course for mathematically gifted students, design the interdisciplinary curriculum framework, encourage textbooks diversification, cultivate the elite of mathematics teachers.

gifted students; mathematically gifted students; recruitment; cultivate

G420

A

1004–9894（2017）03–0039–05

2017–03–07

上海市核心数学与实践重点实验室课题——数学实践（13dz2260400）

张倜（1985—），女，河南商丘人，华东师范大学数学系博士生，主要从事数学方法论与数学教育研究．