“先行组织者”在高中函数概念教学中的应用：“同化”“化归”与“再识”

丁银凯



“先行组织者”在高中函数概念教学中的应用：“同化”“化归”与“再识”

丁银凯

（沭阳县建陵高级中学，江苏 宿迁 223600）

以高中函数概念教学为案例，说明高中数学教学应用“先行组织者”的路径：（1）概念同化：重视各位属关系的教学设计；（2）问题化归：注意教学任务中的问题设置；（3）概念再识：纠正问题解决中的偏差理解．

先行组织者；概念教学；函数；高中；同化；化归

1 引言

1960年，奥苏泊尔首次提出“先行组织者”概念，将其定义为：认知结构中已有的、具有普遍意义的背景观念材料[1]．“先行组织者”的核心思想是在学习者学习新知识之前，对其呈现一定的引导性材料，为“已经知晓”与“需要知晓”的知识搭建桥梁[2]．具体到数学教学中，“先行组织者”指先于数学知识前，呈现给学习者的一种引导性材料，可帮助学习者建立新旧知识间的联系，进而加强新知识的学习．近年来，数学教育研究者对“先行组织者”的作用进行了一定的扩展研究，其功能限阈并非完全等同于新旧知识间的连接，如对于学习者数学倾听能力的培养[3]、对于课堂教学立意的提升[4]、对于教学内容的组织[5]等，都强调了“先行组织者”的应用性．

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高质量的函数学习能够加深学习者对于数学本质的认识[6]，但学习者对于函数知识的理解与内化，也一直是数学教学的难点所在[7-8]．作为高中数学教学的重点与难点，已有部分研究关注到“先行组织者”在高中函数概念教学中的应用[9-10]．但因研究目的不同，往往缺乏其在教学中应用的全面探析．针对高中函数概念教学，以“先行组织者”的视角为切入口，研究提出“先行组织者”在高中函数概念教学中的3方面功能：同化、化归、再识，并结合实践，表明了相对应的注意事项，以推广深化“先行组织者”在数学教学中的应用．

2 概念同化：重视各位属关系的教学设计

学习者对于数学概念的认知，通常有概念形成与概念同化两种路径．概念同化是指，学习者以原有的数学认知结构为依据，将新概念进行加工，使新概念与原有数学认知结构中相关的观念相联系，通过新旧概念的相互作用，将新概念纳入原有数学认知结构之中[11]．“先行组织者”在概念同化中作用明显，能够帮助学习者在概念理解时固定知识点．在学习新概念前，通常存在着学习者已经理解了的旧概念，它作为学习者学习新概念的先决条件，新旧概念间所存在的关系，也称为知识固着点．“先行组织者”就是为知识固着点服务的．

目前，部分教师对“先行组织者”的同化功能的运用较为片面，仅注意到新旧概念间的联系或区别，并未真正深入到学生原有的认知结构当中，通常需要对旧概念进行纵深式同化和扩散式同化，才能推动学习者对新概念的深入理解．对此，可以将“同化”视为一个广角镜头，教师不能仅在指定地点取景，还要注意指定景物与整体景物之间的关联．这就是当前数学教师利用“先行组织者”同化思维时普遍存在的问题，他们通常能建立新旧概念间的联系，却很少在教学中让这种联系产生“有意义”的学习．有意义的“同化”思维不是从“1”到“2”的改变，而是在“1”中能看到产生“3”的可能性，促使学生有较高级别的发现，能为数学概念理解带来更多的包容性和可迁移性，这是先行组织者“同化”思维的意义所在．因此，数学概念理解时创设“先行组织者”，要采用纵横结合的方式找到相应的知识固着点，教师可围绕某个数学概念，从学习者概念认知的不同位属关系创设教学，主要包括上位关系、下位关系以及逆位关系．

下面就函数概念教学来说明，首先学习者在初中阶段所接触到的函数，几乎都是可具体运算的解析式，导致许多学习者误将函数与解析式等同．在高中函数概念教学中，如果教师没有事先打破“函数等同于解析式”这一有误的上位关系认知，大量学习者将无法理解到函数的本质．对此，数学教师可通过实例呈现，从函数概念的上位关系进行概念引入．例如北师大附中教师在高中函数教学的开头设置了3个问题让学生思考：股票指数是时间的函数吗？城镇居民恩格尔系数是时间的函数吗？炮弹距离地面的高度是时间的函数吗[12]？这3个实例问题源于现实生活，每一个实例都涉及两个有确定关系的数集，让学生意识到并非任何函数都可用解析式定义，从而跳离初中函数概念的思维局限，为高中生抽象出函数本质做铺垫．其次是下位关系的教学设计，有了前面的铺垫，教师可给出一个与初中解析式不完全一致的函数概念，即“存在于两个非空数集之间的一种确定的对应关系”．教学经验表明，并非所有高中生都能完全领会到满足这个关系的要点和条件，即从集合到集合的关系下包含了几种不同的情况，例如集合中的数值分别对应着集合中的数值；集合中的数值对应着集合中的某些数值；集合中的数值同时或交叉对应着集合中的数值．究竟哪种对应关系是函数呢？在依次反映函数概念的不同层次时，教师需相应地创设实例情境来呈现“先行组织者”，例如“一天中的气温在某些时段是升高的，某些时段是下降的”，以上哪种数值关系可以表示这一特征？至此，教师建立起了学生的“映射”思想，找到从到的映射关系成为学生理解函数的一把钥匙．当然，集合到集合的法则也可以是一个逆过程，也能反推出集合到集合的映射关系，这就是除上位关系、下位关系以外的逆位关系．运用“先行组织者”的同化思想，从上位关系、下位关系和逆位关系进行教学设计，是共同建立高中函数概念教学的基本路径．

3 问题化归：注意教学任务中的问题设置

“先行组织者”在教学中的作用不止于概念同化；还能够辅助学习者，在问题解决中进行问题化归．数学中的“化归”，是指通过某种转化过程，将待解决问题归结为已解决或易解决问题，最终解决原问题的一种思想或方法，即通过数学的内部联系进行矛盾转化，进而归结为规范问题或可求解问题的思想方法[13]．问题化归的关键在于“转化”[14]，设置“先行组织者”的目的之一，即在于有助学习者进行问题的“转化”．例如将三元一次方程转化为二元一次、一元一次方程，将立体几何问题转化为平面几何问题等，都是“先行组织者”的化归思维的体现．然而，部分教师在利用“先行组织者”设置教学任务，培养学生的化归思想时又常常陷入一些误区，导致新旧知识的转化过程过于繁琐，教学效果不佳．如何合理地设置问题引入概念，影响着“先行组织者”的化归功能的落实．

数学概念教学的一类误区，在于大量使用“例证”而忽略“求证”；换言之，过于强调归纳推理，而忽视了演绎推理．从数学概念的内容构成上看，一个数学概念往往是由几个简单的数学概念构成，或者是将已有概念中的条件增减变动而成．因此许多数学教师习惯将学生已知的知识、概念为基础，采用例证归纳的方式进行数学概念教学．但如果例证的数量或方式太多，便会造成简单问题复杂化．数学概念言简意赅，却包含着数量关系、空间形式、逻辑结构等知识框架与脉络，故而数学概念总是看似简单，用则不易，这也是部分学生数学成绩不佳的原因所在．学生数学概念的获得是一个概念的心理表征的构建过程．将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为有意义的逻辑推理，从而将学生带入问题中，这是数学概念理解必不可少的环节，即从事“做”的数学活动[15]，运用“求证”而非仅是“例证”来理解数学概念比单纯的分析、归纳、整合、记忆等学习途径更有价值．因此，数学教师需要在学生概念理解的各维度上设置相应的应用（求证）环节，才能达到“先行组织者”的化归目的．例如在高中函数概念教学时，教师可利用化归思维设置求证问题，具体方法是找到函数概念理解中的重要节点，建立“先行组织者”．函数概念理解的重要节点有四：一是对函数概念中“、是非空的数集”的理解；二是对函数概念与映射概念的区别理解；三是对函数概念中“中的每个元素，在中都有唯一的元素和它对应”的理解；四是对“值域是集合的子集”的理解．教师针对以上函数概念理解的节点问题设置求证问题可避免例证繁杂、重点不明确的混乱现象，保障高中生认知思维过程的有序性和目的性．

另一种值得注意的情况是数学概念求证中的低水平任务，包括模糊性任务、记忆性任务以及算法化任务，这类低水平任务对学习者的数学概念理解上作用有限．化归思维模式下的学习任务是建立在“先行组织者”之上的程序性任务，它们一般都有显性或隐性的路径可循，并蕴含着可视图表、符号、实验、故事、游戏等有助于发展意义理解的呈现方式，教师通过合理的任务安排，能对学生的认知过程加以调节与监控．如在建立“函数单调性概念”的学习任务时，数学教师普遍能做到将函数图像与具体的问题情境相联系，但如何设置具有“先行组织者”化归思维特征的学习任务，则是一个难点．例如在进行判断函数单调性的教学时，为了引导学生选择证明方式，教师给出了一个超过学生最近发展区的复杂函数，并提问学生：“面对我们画不出图像的函数，如何判断函数的单调性呢？”这时候有学生提出“微观取点”，于是教师给学生建立了“区间取点”的学习任务，并追问了一系列问题，例如是否可代入特殊值、可否直接取1和2这两个点、是否可取定义域上的所有点、是否可在未取满定义域上所有点的情形下证明函数单调性．高中生利用数形结合判断函数单调性时，容易忽视‘点’的任意性[16]，教师针对区间端点设置学习任务，促使学生学会分析函数定义域中的制约因素，从而突破函数单调性概念理解的难点，设置这种高水平的学习任务可使高中生尽快地接近函数概念的内核，体现了“先行组织者”的化归思维优势[17-19]．

4 概念再识：纠正问题解决中的偏差理解

研究显示，总有部分学生对高中函数概念的理解存在偏差，这种偏差一般不会出现在函数概念的复述或解释中，而主要出现在函数问题的实际解决中．函数问题的解决过程通常涉及“变量”，虽然一个常态函数被隐藏在变量之中，或经由变量展现出陌生的形态，但它的内核仍然是函数思想，教师可通过问题解决纠正学生对函数概念的认识偏差，通过问题解决深化函数概念的理解，构成了学生理解函数概念的重要环节——再认识，教师可利用“先行组织者”设计变量，检查、纠正和提升学生概念理解的完整度，使学习者达到对偏差概念理解的再认识．

函数中的变量是学习者理解函数概念的难点．例如，当一位数学教师让学生们判断“=2是否为函数”，学生的错误回答主要有三类，第一类回答认为它并非函数，因为没有变量；第二类回答也强调它并非函数，但认为它有变量，只是变量未随的改变而变化；第三类回答则认为它是一个等式，并非函数．由此可见，相当多的学生将生活中的“变量”与函数概念中的“变量”等同．函数概念中的自变量与因变量关系是指：在某一个过程中有两个变量、，当在某范围内取一个值时，都有唯一的值和它对应，这时候我们说是的函数（因变量），是自变量．但学生却笼统地理解为“因变量会随着自变量改变”，可见学生对函数概念中“对应关系”的理解并非十分顺利，一些看似简单明了的关系中存在盲点，需要教师巧设问题，发现学生在函数认识上的误区，进而帮助他们对函数概念再认识．

再看一例，对于“=²中，判断是否为的函数”，许多学生发现一个对应着两个，于是认为并非关于的函数．分析可知，错误源于对“是否为的函数”这句话的理解偏差，学生们认为写在前的是自变量、写在后的是因变量．乍看之下，这种理解偏差是学生思维的片面性造成的，但深究下去会发现，问题在于“先行组织者”的缺失．高中函数章节中，对自变量与因变量介绍只出现了一次，此后的知识点再未提及，因此函数概念的定义常常被数学教师转译为“一个值对应一个值，或多个值对应一个值，则是的函数”，导致学生误认为只要代入值能算出值，便可以得到是的函数这一结论．数学教师口中的、是它们所代表的值，而学生却将它们误作符号本身．如果教师在问题解决前都给出了“先行组织者”，便能事先呈现具体的问题情境，以弥补教师使用不完整词汇表达概念而给学习者带来的理解偏差，也保障了学习者对函数概念的再认识．

5 小结

对于高中函数概念教学，研究从“先行组织者”视角入手，分别讨论了其在概念同化、问题化归、概念再识3个方面的应用，及相关注意事项与案例．在理论结合实践的基础上，丰富了“先行组织者”的应用性，后续可通过调查实验，对此研究成果进行检验、修正．

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[17] 王光明，佘文娟，廖晶，王兆云．高效率数学学习高中生的元认知特征及其教学意义[J]．教育科学研究，2017（4）：46-53．

[18] 王光明，张晓敏，王兆云．高中生高效率数学学习的智力特征研究[J]．教育科学研究，2016（3）：48-55．

[19] 王光明，张楠，周九诗．高中生数学素养的操作定义[J]．课程·教材·教法，2016，36（7）：50-55．

[责任编校：陈隽]

Application of “Advance Organizer” in High School Function Concept Teaching: Assimilation, Reduction and Recognition

DING Yin-kai

(Jiangsu Province Shuyang County Jianling Senior High School, Jiangsu Suqian 223600, China)

As high school function concept teaching for the case, we showed the paths of “Advance Organizer” in high school mathematics teaching, which included: (1) Concept Assimilation: paying attention to the teaching design of different directional relationship; (2) Problem Reduction: noticing the design of problem in teaching tasks; (3) Concept Recognition: correcting the inappropriate understanding in problem solving．

advance organizer; concept teaching; function; high school; assimilation; reduction

G632

A

1004–9894（2017）06–0033–03

丁银凯．“先行组织者”在高中函数概念教学中的应用：同化、化归与再识[J]．数学教育学报，2017，26（6）：33-35．

2017–11–20

丁银凯（1969—），男，江苏沭阳人，中学高级教师，主要从事中学数学教育研究．