例谈关于an与Sn等式的三种转化方式

戴少平

内容摘要：在高考数学全国卷中，an与Sn的关系是高频考点，一定要处理好；介绍an与Sn关系的三种转化方式及两种策略，并结合例题说明Sn的等式、通项an、关于Sn的递推公式、数列{an}的递推公式之间的相互转化。

关键词：转化方式、Sn的等式、通项an、关于Sn的递推公式、数列{an}的递推公式

在高考数学全国卷中，数列是重要的考查内容之一。在这部分内容中，考查数列{an}的通项 与前n项和Sn的关系（ ）的频率很高，一定要处理好。下面通过几个例子，介绍下an与Sn关系的三种转化方式及两种策略。

转化方式（一）：Sn的等式→数列{an}的通项公式

例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ，求数列{an}的通项。

解：由 得， ，

当 时， ；

当 时， ，

综上所述，数列{an}的通项公式为

总结，关于Sn的等式转化成数列{an}的通项公式。

转化方式（二）：Sn的等式→数列{an}的递推公式→数列{an}的通项公式（→求出Sn）

例2、已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn且 ，求通项。

解： 时， -------（1） ------ （2）

（1）-（2）得

即

∵各项均为正数 ∴ 即

∴数列{an}为公差为1的等差数列

n=1时， （舍去） ∴

总结，利用 消去Sn，将Sn的等式转化成数列{an}的递推公式，接着用迭加法、迭乘法、构造法等求出数列{an}的通项公式；如果有需要，再用公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法、倒序相加法求出前n项和Sn。

转化方式（三）：Sn的等式→关于Sn的递推公式→求出前n项和Sn（→求出an）

例3、已知数列{an}的前n项和为Sn， ， ，

（1）求证数列 为等差数列；（2）求前n项和Sn。

（1）证： 时，

= = =2

数列 为公差为2的等差数列

（2） = + =

总结，利用 消去an，将Sn的等式转化成关于Sn的递推公式，接着用构造法等求出Sn（大多数情况下题目会提示如何构造）；如果有需要，再用 或已知条件求出通项an。

（策略一）：一般来说，题目所求是关于通项an的，可采取转化方式（二），如例4和例5；题目所求是关于前n项和Sn的，可采取转化方式（三），如例6；

例4、已知数列{an}的前n项和为Sn且所有项都不为0，a1=1， ，

求证： 。

例5、已知数列 的前 项和为Sn， ，求通项 。

例6、已知数列 的前 项和为Sn， ， ，试问数列 是什么数列，并求Sn。

（策略二）：有很多情况，（二）（三）两种转化方式都可用，如例7；有的情况下，所求是关于通项 的，却要采取转化方式（三），如例8。

例7、已知数列 的前 项和为Sn， ， ，求通项 。

解法一： 时， -------（1） ------ -（2）

得 即

数列 从第二项起为公比为2的等比数列

时，

解法二： 时， 即

数列{Sn}从第二项起为公比为2的等比数列

时，

数列{Sn}为公比为2的等比数列

=

时，

例8、已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn， ，求通项an。

分析： 时， -------（1） ------ -（2）

得

再用构造法求通项an，很难，所以此题不采取转化方式（二）。

解：变形为

时， 将 代入上式

数列 为公差为1的等差数列

时，

总之，所采取的转化方式解决不了问题，可以换种处理方式看看。平时做题，试着用两种转化方式解题，可以提高计算能力及分析判斷的能力，更可以培养逆商。