小学数学建模教学应注意三个问题

朱贵玺

小学阶段的数学建模教学实际上是依据学生的年龄和思维特点，调动学生已有的知识经验，从现实问题情境抽象出直观数学模型，并且运用数学模型解释、验证一些数学问题，从而体会模型思想在小学数学教学中的价值和作用，感悟一些解决问题的策略和思想方法，学会用数学的眼光发现和解决日常生活中的问题，形成灵活、合理的数学思维方式，增强应用数学的意识和能力。结合笔者的教学实践和反思，在数学建模教学过程中要做到以下几点。

一、准确把握学生数学建模的起点

小学数学教学更多地依靠生活经验与几何直观。因此在数学建模教学中，应该以学生的生活经验和思维特点为基础，准确定位、科学设计，从数学的角度引导学生从现实问题中抽象出直观模型，为学生深入开展数学建模活动奠定坚实的基础。

1.问题设计有科学性

小学阶段实施数学建模教学，首先要解决的是问题设计。因为一个好的问题，可以唤醒学生已有的知识经验，让学生在观察操作、合作交流、归纳反思中不断碰撞出思维的火花，重组自己的认知机构，形成新的知识体系。建模教学中的问题设计要满足以下要求：现实问题情境是学生熟悉或者经历过的，问题中的数学信息比较清晰，能够唤醒学生已有的数学知识，问题应是学生感兴趣的新问题，解决问题的过程具有开放性，问题对学生有一定的吸引力。如苏教版《数学》四年级下册“数字与信息”一课，先从生活中一些常见的数字编码入手（固定电话号码、门牌号及火车车次等），让学生初步感受数字编码在生活中的原型。接着以自己及家庭成员的身份证为问题设计的开始，让学生在观察比较中认识身份证数字编码的基本情况。然后以为全班同学设计编号为模型应用，让学生在解决实际问题的过程中进一步感受数学模型的实际价值。最后，让学生进一步回顾整个建模教学的过程，总结数字编码表达信息的好处，增强应用数学模型的兴趣和意识。

2.情境选择要合理化

小学数学建模教学还要解决问题情境合理化引入的问题。因为小学阶段的一些知识，受小学生认知特点的限制，不能直接用数学内部的逻辑说明，只好利用一些现实问题引入和说明。在实际教学中，需要教师准确利用学生的生活经验，合理地设计问题情境，激发学生用数学思维去探究、解决问题的兴趣。如苏教版《数学》五年级上册“负数的初步认识”一课，一位教师在教学中是这样的引入：“已知7-5=2，7-7=0，那么7-9=？”由于教师在引入过程中创设的是购物付钱的情境，所以很多学生最后得出了“欠2”的结论，这时教师适度揭示本课要学习的内容，帮助学生从现实的模型逐渐过渡到数学直观模型。这样的问题情境不仅简练，而且激发了学生解决数学问题的兴趣。

3.知识定位要多样化

小学阶段的数学知识呈现主要有以下三种情况：一是纯属数学内部的规定，不需要从生活原型引入；二是先从现实原型引入，然后从数学内部揭示知识建构的整个过程；三是先在数学范围内讨论，然后应用于解决实际问题的过程中。我们在建模教学的开始就要先对所学数学知识进行定位，根据不同的情况具体内容具体处理，避免一刀切、模式化，流于形式，出现异化。如苏教版《数学》六年级下册“正反比例”的概念，在教学之前，应该定位它的呈现方式。因为它是一次函数、负一次函数的特例，我们在实际教学中，应该选择第二种呈现方式，从现实问题问题情境入手。又如苏教版《数学》四年级上册“混合运算”一课，整数四则混合运算的顺序是“先算乘、除，再算加、减”。对此，我们在教学中应该有这样的教学定位：今后教学中还要引进括号，因为有一些实际问题，需要“先加、减，后乘、除”，所以应该选择第一种呈现方式。再如苏教版《数学》五年级下册“因数和倍数”一课，如果从现实原型引入，就会增加学生学习的难度，只能先在数学范围内研究和讨论，从中发现一个数因数和倍数的特点，然后利用这些特点来解决一些实际问题。这样的教学定位更符合小学生的认知特点，在教学实践中会产生较好的教学效果。

二、精心组织学生数学建模的过程

小学阶段的数学建模教学，需要教师通过一些数学化的训练策略，引导学生对现实问题情境进行抽象概括，总结归纳出它的数学直观模型，并用数学语言说明、表达、解释数学模型的价值和意义。在这一过程中，应该引导学生学会用数学的眼光观察，用结构化、系列化、一般化的思维方式推理和抽象，进而选择正确的数学知识和技能加以灵活应用。

1.学会用数学化的眼光观察

所谓数学化的眼光，主要是指教师引导学生从众多的问题信息中，准确地捕捉具有建模意义的、可操作的数学信息，并能够利用学生已有知识经验进行数学思维。这种数学化其实就是一種数学直观思维，是建立在细致的数学观察基础上的一种基本思维方式，它是学生完成数学建模不可或缺的能力基础，需要在日常教学中根据级段的不同有意识地逐步培养。如在四年级学习了“垂直和平行”以后，让学生观察教室中的四个墙角，分别有几条垂线？几条平行线？学生在观察完一个墙角的基础后，对比发现相邻的两个墙角中还有垂线和平行线，继续深入观察，发现相对的两个墙角也有平行情况出现。在观察对比的基础上学生思维空间由两维到三维逐渐拓展，这里数学化的观察体现的漓淋尽致。

2.学会用结构化的思维进行训练

所谓结构化的思维，主要是指学生在建模教学中能够从现实原型抽象出数学结构，并且能够掌握数量关系的主干，形成以简驭繁的思路，在实际教学中往往会产生“举一反三”的效果。比如在“列方程解决问题”的教学中，可以先出示基本题“学生栽树，前5天每天栽125棵，后3天每天栽95棵。一共栽了多少棵？”学生解答完毕后，教师提出改编要求：请改编成求已知条件的问题。学生对于基本题中原来的条件和问题进行了充分的分析，发现无论怎样变化，基本题的数量关系就好比是大树的主干，是学生改编成列方程解决问题的根本。最后，教师在学生充分讨论的基础上，引导学生总结出本题的数量关系：五个不同的实际问题具有结构性的内在联系，它们的数量关系（数学结构）都是“两积之和”。

3.学会用系列化的思维进行拓展

所谓系列化的思维，主要是指学生在建模教学中能够对已经抽象出的数学模型进行变式，让学生通过比较每种情况之间的联系，加深对数学模型概念的认知，形成网状知识结构，丰富学生数学基本活动经验，形成一定的数学思想方法。比如苏教版《数学》三年级“间隔排列”一课，在学生通过观察发现间隔排列的一般规律（植树问题的模型）后，教师提出问题：“把□与○一个隔一个地排成一行，如果□有6个，○最少需要多少个？最多需要多少个？”通过摆一摆、画一画，让学生体会数学模型的其他变式：（1）两端物体如果都是□，则○有6-1=5（个）；（2）两端物体不同，如果分别是□与○，则○有6个。至此，教师没有停止，而是继续提问：如果把○放在前面呢？可能会出现哪些情况？学生拿出学具拼一拼、摆一摆，进一步感受数学模型的内涵，最后教师帮助学生梳理总结一下数学模型的各种情况。这样的教学可以最大限度地整合各种数学问题，形成问题链，形成系列化的思维拓展资源，帮助学生建构自己的知识体系。

4.学会用一般化的思维进行概括

所谓一般化的思维，主要指学生在建模教学中能够从一个问题的解决，总结概括出一类问题解决的数学模型，并且能够进行推广应用。这是当前小学数学教学一直忽视和欠缺的一个问题。究其根源，主要是我们常常低估小学生的潜能，对于学生的最近发展区认识不到位，所以在很多需要我们进行一般化教学处理的时候，大部分教师往往选择放弃。其实，一般化的教学处理往往能够让学生进一步感受数学模型的应用价值。比如苏教版《数学》五年级上册“用字母表示数”的练习课，教师出示情境图：每个足球a元，5个足球一共（ ）元？学生得出5a元后，教师将情境图去掉，你能用自己的语言说一说5a还可以表示什么吗？大部分学生能够结合自己的知识经验，用具体的数量说明问题。最后，教师组织学生总结出这样的数量关系就是“总价=单价×数量”。在一般化教学理念的指引下，我们可以进一步推广：还可以找到类似的数量关系吗？你能用一个具体的式子表示吗？学生很快就可以说出“总量=每份量×份数”“工作总量=功效×时间”等。实践表明，这样的教学处理，有利于提高学生学习数学的兴趣和应用意识，也有助于学生初步形成模型思想。

三、优化促进学生数学建模的应用

学生建模学习的落脚点最终要回到应用中，所以，在建模教学中必须重视学生利用数学模型进行实际问题求解的应用，积累数学活动经验，形成一些解决问题的基本策略，体会数学思想方法的应用价值。

1.在应用过程中注重培养学生的符号意识

小学数学教材中常用的语言表现形式主要有文字、符号、图形三种。随着学生年龄的增长以及学段的升高，学生学习过程中会出现文字语言逐渐减少，符号语言增多的趋势。因此，在建模应用的过程中，教师应引导学生在解决问题的过程中尝试用符号语言表达、解释数学模型，从而初步培养学生的符号意识。在低年级解决问题的教学中，我们主要让学生列一步计算或者两步计算的算式来解决问题，而在中年级解决问题的教学中，学生就可以在分步列式计算的基础上尝试列综合算式解决问题，到高年级解决问题的教学中，则主要让学生根据数量关系式直接列综合算式或者方程解决问题。

2.在应用过程中注意培养学生的方程、函数思想

3.在应用过程中注意培养学生的几何直观能力

小学阶段学生的思维特点以直观形象思维为主，辅以抽象逻辑思维。所以在应用数学模型解决数学问题的过程中，教师应该重视学生几何直观能力的培养，让学生能够在数形结合中体会模型思想的内涵和外延。如六年级学生在“数与形”一课认识三角形数和正方形数以后，教师设计了这样的练习：到苗族旅游参加长桌宴，1张桌子可以坐6人，两张桌子可以坐10人，3张桌子可以坐14人。照这样计算，如果旅游团有50个人，需要擺多少张桌子？

思考之后，学生逐渐发现：如果增加1张桌，可多坐4人。可是长桌张数与人数之间的数量关系却比较难找。教师适时组织学生列表，数形结合后，学生就可以找出数量关系以及各种变式：总人数=长桌张数×4+2，长桌张数=（总人数一2）÷4等。由此可见几何直观能力在学生建模应用过程中有着巨大的作用，应该被一线教师重视并加以实践和应用。

小学阶段的数学建模教学目前依然处在探索阶段，我们应该激活小学生的建模潜能，为学生的数学建模学习搭建平台，促进其数学学科核心素养的全面提升。

参考文献

[1] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之八——模型思想（上）[J].小学数学教师，2015（11）.

[2] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之八——模型思想（下）[J].小学数学教师，2015（12）.

[3] 王永春.小学数学与数学思想方法.上海：华东师范大学出版社，2014.

[责任编辑：陈国庆]