数学建模过程中的抽象化原则

吴青

数学知识来源于生活，而我们学习数学的最终目的，也是为了能够灵活运用所学的数学知识去解决生活中的实际问题。但事实上，我们所学的数学知识和生活实践之间还存在着一段距离，因为我们在数学课堂上所呈现的问题，都不是生活问题的本来面目，而是经过一定抽象和概括的数学问题，几乎没有或者只有很少的无关干扰信息，所以学生解决这些问题时，能够比较方便地找到所需信息，并顺利求解。但是，真正的生活问题含有大量的无关信息，带有更多的直观、形象性，甚至看起来与数学似乎没有丝毫联系，此时就需要我们能够敏锐地捕捉其中的数学信息，将其抽象为数学问题，并使之得到解决，这就是数学建模的过程。数学模型就是对实际问题进行分析、简化、抽象后所得出的数学结构，它是使用数学符号、数学表达式以及数量关系对实际问题简化的、本质的描述。

在数学建模过程中，比较关键的一点就是需要对实际问题进行分析、简化，并经过一定的抽象，从而得出相应的数学模型。对于具体的生活问题，我们需要根据不同的实际情况来进行适当的抽象。下面就以苏教版《数学》四年级下册“用数对确定位置”一课为例，来谈谈数学建模过程中的抽象化。

一、直觉性

我们在分析生活问题时，可以依据自己的直觉进行抽象，其中包括人们默认的一些方法和原则。

比如在这节课的一开始，让学生进行“心有灵犀猜猜猜”的游戏，出示一排小动物，老师指定其中一个小动物的位置（比如小兔）并告诉一位学生，然后让他用一个手势告诉其他学生这个小动物的位置，但是不能说话，看谁能理解他所做出的手势，准确找到这个小动物。这位学生用手势做出了一个数字“4”，意思很明确，表示第4个，几乎所有的孩子都能明白，是从左往右的第4个。接下来再出示6×6的小动物方阵，同样指定其中一个小动物并告诉一位学生，这时他用两只手分别做出了4和3的数字，可是下面的学生却出现了不同的理解，得到了好几个不同的位置。

在这个片段中，面对一排动物和一个动物方阵这样的生活情境，学生都选择将小动物的位置抽象成一个或两个数字，这种抽象是自发的，是在无法用言语表达时学生的直觉。这样一个简单的游戏让学生在无形之中经历了形象问题抽象化的过程，初步感悟到数学建模的思想。而学生在依据自己的直觉进行抽象时，都遵循了自己的生活习惯。当只有一排小动物时，我们一般都会从左往右看，从左往右数，所以作出的手势4就表示从左往右数第4个。而当小动物排成一个方阵时，有的学生类比为一页书上的汉字，我们在看书时，总是从上往下看，从左往右看，因此，作出的手势4和3，其实表示从上往下第4行，从左往右第3个，有的学生类比成排队做操，我们会先数是第几列，再数这一列的第几个。因此就出现了不同的理解。

不管是哪一种直觉想法，都是学生在尝试着将生活问题抽象成数学问题，这就是数学建模的开始。所以，我们在遇到生活问题时，首先可以考虑依据学生的直觉，依据自己的生活习惯来进行抽象。

二、统一性

因为每个人的生活习惯不同，直觉思维不同，所以每个人依据自己的直觉抽象出来的模型可能与别人并不相同，在与别人交流时会出现一些困难和错误。但是，数学模型应该是一个统一的数学结构，它应该有固定的形态，應该能被所有人理解和接受，而不会产生歧义。所以，在生活问题抽象的过程中，还必须要注意统一性原则，以便于交流、便于推广。

比如在这节课上，针对刚才第二次猜小动物位置时出现的几种情况，分别让学生说说自己是怎么想的，有的是先行后列，有的是先列后行，有的是从上往下，有的则是从下往上……正是由于大家对两个数字有着不同的理解，所以得到了不同的位置。接下来，教师让同桌两人先商量一下，然后再进行游戏，一人比划，另一人猜，这时候同桌的两人都能猜对。询问缘由，原来是两个人相互之间已经约定了一个规则，按照规则来猜，当然都能猜对位置。这比第一次抽象的程度更高，思维的要求也更高。这时候抽象成的数学模型，在两个人之间就没有歧义，是他们共同认可的。再进一步，怎样才能让全班同学都能一下子就猜对呢？很简单，只要在全班范围内统一一个规则，就可以了。

这次抽象，是在个人直觉抽象的基础上，在和同伴交流的过程中，为了统一规则而进行的抽象，经过这样的抽象所得出的数学模型，就能够被大家所接受。数学家用数对来表示位置，也正是规定了一个统一的规则，这样大家就能明白一个数对所表示的位置。

三、简化性

数学是追求简约的科学，力图用最简洁的文字或符号，来表示复杂的实际内容。在将实际问题进行抽象时，同样需要考虑简化性原则。

在这节课上，为了让学生理解数学家所制定的数对的规则，接下来教师出示了教室的座位图。在教室里，老师站在讲台的位置观察下面的学生，就是按照第几组第几个的方法进行描述的，也就是先数列后数行。数学家们所确定的原则，正和教室里的座位图一致，所以接下来将教室里的每一位同学都抽象成一个圆点，将座位图抽象成点阵图，这样学生就能理解，为什么数学家制定的规则是先列后行，从前往后数（在图上也就是从下往上数）。

将座位图抽象成点阵图，具体的生活场景抽象成了数学元素，保持不变的是它们的规则，但是更加简洁了。我们在将生活问题进行抽象时，同样也可以采用这样的简化性原则，去除那些无关紧要的因素，保留最主要、最根本的内容，从而将生活问题所要表达的内容抽象成数学问题表达出来。

接下来，针对“第4列第3行”这样的数对表述方式，又一次进行了简化。教师告诉大家，这个小动物方阵中，有些小动物将要参加接下来的动物运动会，你们赶快把它们的位置记录下来，可不能记错了。于是教师开始报一串数对，开始的时候速度很慢，学生还能把每一个字都记录下来，但是接下来报的速度越来越快，根本就来不及记录。但是有许多同学把这些小动物的位置准确地记录了下来，原来他们都自觉地采用了简化原则，只是把表示列和行的两个数据记录下来。

教师用这种方法，“逼着”学生完成了数学建模道路上的又一次抽象化。确实，数学家们也是把列和行的两个数据保留下来组成一个数对，其他那些无关紧要的文字都不需要了，因为大家都知道是“先列后行”，所以顺序上不会出现错误的理解。至于用小括号将两个数括起来，则是形式上的表达方式，为了不和其他数学符号混淆而已，没有特别的含义。

从这两个片断中可以看出，在把生活问题抽象成数学模型时，简化是一个很不错的方法，可以使抽象的数学结构更加简洁，更加符合数学模型的要求。

四、对抽象之后的再抽象

数学模型是高度抽象的，有时候一个模型中可能会包括许多具体的模型，所以我们在对生活问题抽象得出数学模型之后，要及时回顾反思，将其上升到一个新的高度，更加抽象概括地表达出来。

在课堂上，抽象出数对的模型后，教师引导学生回顾生活中有哪些地方也用到了类似的表达方式，结果发现飞机票、国际象棋棋盘、地球经纬线等也是用两个数据来确定位置。在对这些具体模型进行对比分析之后，有学生认为，这些方法都是根据两条不同的直线相交于一点来确定位置的。这样，就把这些数学模型的共性揭示出来了，由此我们就可以抽象出更为一般的数学模型。

接下来教师和学生又一起回顾分析了一维队列和二维点阵中确定位置的方法，发现在一维队列中只用一个数据就可以确定位置，而二维点阵中需要用两个数据来确定位置，那么在魔方这样的三维空间中，要确定某一个小方块的位置，需要几个数据呢？通过这样的反思分析，数对这个数学模型又经过了进一步的抽象，从而向更一般的数学模型发展。

从上面的分析可以看出，“用数对确定位置”这一课在进行数学建模的过程中，经历了四次不同水平的抽象，由低到高逐步展开，层层推进，充分体现出数学建模过程中抽象化的不同要求。

[责任编辑：陈国庆]