高中函数最值问题的求解方法分析

⌾罗广睿

高中函数最值问题的求解方法分析

⌾罗广睿

高中数学是高中三大主科之一，函数是高中数学学习的重要板块，其中函数的最值问题可考查学生对于导数、向量、不等式、解析几何、线性规划等知识的掌握情况，以及学生应用函数与方程、数形结合、转化与规划等数学思维分析问题和解决问题的能力，在高中数学试题中屡有涉及。本文根据自己的学习理解，对函数题型特点进行分析总结，探讨如何求解函数最值这一问题。

高中数学；函数题型；最值问题

高中数学在高中课程中难度大，对学生的要求很高。通过几年的数学学习，我认为提高数学成绩的关键是在平时学习中注意完善数学思想、提升逻辑思维能力。除此之外，还可以对试卷的各类题型进行分析归纳，从不同的角度分析其解题核心，重点与难点，解题思路与方法，完善建模体系，从而对各类题目进行逐个击破。

一、高中数学函数题型的特点

高中数学试卷中经常出现由函数知识分类引导出的各种题型，如对函数的求导、函数的区间与定义域、用函数思想解决应用题、最值问题的求解等等。对函数最值问题的求解需要了解函数题型的特点，通过分析归纳，总结出以下三点：

1.函数题型涉及到自变量与因变量的关系，是一个不确定范围。我们在初等数学中常常需要对自然数、有理数等进行求解，这些需要求解的数统称为常数，是不会随着其他因素的变化而变化的数。但函数不是一个数，而是数的集合，涉及到函数题型，更多的是建模思想的运用，因变量Y在自变量X的变化下跟随变化，X可以是定义域上的任何数而不是常数，因此函数是研究变量与变量之间的关系，而非简单的求解。

2.函数题型需要与图形结合帮助分析判断。函数变量之间的转换关系有无数种，因此在坐标轴上也有无数种图形作为函数之间的对应关系存在。一元一次函数的对应图像并不复杂，是一条直线；而二元一次函数对应图像是抛物线，必须确定这个函数与坐标轴之间是开口向上还是向下的关系，确定对称轴。高中数学涉及到自变量与因变量的对应通常都较为复杂，学习时一定要画图并根据图形进行正确的分析判断，使抽象的函数对应关系具象化，从而方便解题。

3.需要一定的建模能力，大胆作出假设。自变量与因变量因为各种对应关系成为函数，因此函数是自变量与因变量在其定义域上的集合，也就是简单的模型。涉及到多个函数的相交点，或是最值问题的求解时，需要对为数不多的条件进行归纳分析，综合判断设定自变量与因变量，建立函数模型，再根据条件反复代入，得出答案。

二、高中数学函数最值问题的求解方法分析

对最值问题的求解经常出现在函数题型中。通过平时的学习总结，对函数最值问题的求解方法分析如下：

1. 作图，划分定义域，求解 高中函数问题中涉及到多个自变量与因变量，对应关系多种多样，总体而言较为复杂，若不在草稿纸上对图形进行补充将难以求解，因此画图是第一步。求解的第二步是根据函数自身特点，对定义域进行定义，定义域是自变量的几何，根据数学上的概念，对不可能存在的数进行排除，加上题中可能已有函数的定义域，求出二者的交集，得出定义域，作出基本图形。求解定义域能够缩小范围，有利于图形上直观的表现出因变量的增加或是减少趋势，得出大至方向。

2. 连续函数中的求导，直观分析求出最值 对于连续函数，求导是得出最值的最有效方法。对于划分好定义域的函数而言，进行简单的作图，并对其求导，判断函数在区间内呈上升趋势还是下降趋势。一般而言，求导为零的点的因变量值，或是定义域的边界点对应的因变量值，很大可能是函数的最值。值得注意的是需要对求导为零的点进行两段定义域的划分，再根据上升下降趋势对导数为零的点进行判断分析。

3.根据函数对应关系本身特点，进行假设与代入求解 有些函数的对应图像极为复杂，对应关系在题型中非常罕见，就难以从题型中直观地看出最值。此时更需要关注题目中所给的条件，如定义域的划分，或导数的增减。这类题型有些可通过二次求导来解答，有些只能够大胆的建立模型，再根据建立的模型利用数学公式和定理再次建立两者间的关系，得出最值。

综上所述，函数题型在高中数学中的地位不容忽视，函数的最值问题在函数题型中作为一个过渡题目，只有求解出最值才能够对下一个问题进行求解。求解函数最值问题方法万变不离其宗，根据作图与求导等一系列决策得到答案，对一些更为复杂的题目则需要建模等方法进行综合分析解答。除了要总结各种函数题型的特点外，我们还要在大量的练习中熟悉各种数学思想，提升自身的思维逻辑能力与建模能力，才能提高学习成绩。

[1]俞志能.浅谈函数最值问题的求解思路与方法[J].数理化解题研究(高中版).2012年第07期

[2]傅钦志．函数最值问题的求解策略[J].中等数学.2012年 第9期

四川省成都石室天府中学 610041)